1樓：曉龍修理
結果為：π/5
解題過程如下：
設x=rsinacosθ，y=rsinasinθ，z=rcosa
x^2+y^2+z^2=z變為r=cosa
原式=2∫<0,2π>dθ∫<0,π/2>da∫<0,cosa>r^3sinadr
=4π∫
<0，π/2>(1/4)(cosa)^4sinada
=π（-1/5）（cosa)^5|<0，π/2>
=π/5
求函式積分的方法：
如果一個函式f在某個區間上黎曼可積，並且在此區間上大於等於零。那麼它在這個區間上的積分也大於等於零。如果f勒貝格可積並且幾乎總是大於等於零，那麼它的勒貝格積分也大於等於零。
為推論，如果兩個 上的可積函式f和g相比，f（幾乎）總是小於等於g，那麼f的（勒貝格）積分也小於等於g的（勒貝格）積分。
函式的積分表示了函式在某個區域上的整體性質，改變函式某點的取值不會改變它的積分值。對於黎曼可積的函式，改變有限個點的取值，其積分不變。
對於勒貝格可積的函式，某個測度為0的集合上的函式值改變，不會影響它的積分值。如果兩個函式幾乎處處相同，那麼它們的積分相同。如果對 中任意元素a，可積函式f在a上的積分總等於（大於等於）可積函式g在a上的積分，那麼f幾乎處處等於（大於等於）g。
如果在閉區間[a,b]上，無論怎樣進行取樣分割，只要它的子區間長度最大值足夠小，函式f的黎曼和都會趨向於一個確定的值s，那麼f在閉區間[a,b]上的黎曼積分存在，並且定義為黎曼和的極限s。
2樓：同竹童睿思
^變換成球座標積分，dxdydz=r²sinφdrdφdθx=rsinφ*cosθ
y=rsinφ*sinθ
z=rcosφ
且x²+y²+z²=r²，
原式=∫∫∫r^4*sinφdrdφdθ
但內x^2+y^2+z^2=z不是封容閉曲面，哪來的界定區域
3樓：匿名使用者
利用球面座標計算，主要就是注意θ φ的上下限問題，θ是投影到xoy平面時極座標裡的角度，φ指的是從z軸往外的角度
4樓：匿名使用者
|設x=rsinacosθ，y=rsinasinθ，z=rcosa,則
dxdydz=r^2sinadrdadθ，x^2+y^2+z^2=z變為r=cosa,原式=2∫內
<0,2π
容>dθ∫<0,π/2>da∫<0,cosa>r^3sinadr=4π∫<0，π/2>(1/4)(cosa)^4sinada=π（-1/5）（cosa)^5|<0，π/2>=π/5.
僅供參考。
計算三重積分∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz 其中 v 是由圓錐面 z=根號(x^2+y^2)與平面 z = 1 圍成的閉區域. 5
5樓：匿名使用者
v:｛0≤r≤,0≤θ≤2π，0≤φ≤π／4∴∫∫∫v（x²＋y²）dxdydz
＝∫0到2π dθ∫0到π／4dφ∫0到1 r的四次方乘以sin³φ＝根號2／10π
我的天，太難打字了
6樓：戒貪隨緣
數學上的三重積分:三元函式z=f(x,y,z）定義在有界閉區域ω上,將區域任意分成n個子域δvi(i=1,2,3…,n)並以δvi表示第i個子域的體積.在δvi上任取一點(ξi,ηi,ζi),i從1到n作和σf(ξi,ηi,ζi)δvi.
如果當各個子域的直徑中的最大值λ趨於零時,此和式的極限存在,則稱此極限為函式f(x,y,z)在區域ω上的三重積分,記為∫∫∫f(x,y,z)dv,其中dv叫做體積元素。
三重積分的計算一般將原積分化為二重積分再計算.
約定:約定:∫[a,b]表示[a,b]上的定積分,∫∫[d]表示區域d上的二重積分.
原式=∫[0,1]dz∫∫[d](x^2+y^2)dxdy 其中d:x^2+y^≤z^2(z≥0)的平面區域
而∫∫[d](x^2+y^2)dxdy=∫[0,2π]dθ∫[0,z]r^3dr (極座標變換)
其中∫[0,z]r^3dr=(1/4)r^4|[0,z]=z^4/4
∫∫[d](x^2+y^2)dxdy =∫[0,2π](z^4/4)dθ
=(z^4/4)·2π
=(π/2)z^4
所以原式=∫[0,1]((π/2)z^4)dz
=(π/10)z^5|[0,1]
=π/10
7樓：皇者千歌音
圖形在xoy面上的投影域為x^2+y^2=1
由極座標得∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz=∫0到2πdθ∫0到1rdr∫1到rdz=1/3π
8樓：x絃斷
祝你好運 我只學到二重積分
計算三重積分xyzdxdydz，其中積分為球面x^2+y^2+z^2=1及三個座標所圍成的在第一卦
9樓：等待楓葉
三重積分xyzdxdydz的結果等於1/48。
解：因為積分為球面x^2+y^2+z^2=1及三個座標所圍成的在第一卦，
那麼積分域ω是一個球心在原點，半徑為1的球在第一掛限內的部分。
則可用球座標計算。其中（0≦θ≦π/2，0≦φ≦π/2，0≦r≦1）。
ω∫∫∫xyzdxdydz=ω∫∫∫[(rsinφcosθ)(rsinφsinθ)(rcosφ)r²sinφdrdθdφ
=ω∫∫∫[(r^5)sin³φcosφsinθcosθdrdθdφ
=[0,1]∫(r^5)dr[0,π/2]∫sin³φd(sinφ)[0,π/2]∫sinθd(sinθ)
=(((r^6)/6)︱[0,1])*(((1/4)sin⁴φ)︱[0,π/2])*(((1/2)sin²θ)︱[0,π/2])
=(1/6)*(1/4)*(1/2)
=1/48
即ω∫∫∫xyzdxdydz等於1/48。
擴充套件資料：
三重積分的計算方法
1、直角座標系法
適用於被積區域ω不含圓形的區域，且要注意積分表示式的轉換和積分上下限的表示方法。
（1）先一後二法投影法，先計算豎直方向上的一豎條積分，再計算底面的積分。
（2）先二後一法（截面法），先計算底面積分，再計算豎直方向上的積分。
2、柱面座標法
適用被積區域ω的投影為圓時，依具體函式設定，如設
x^2+y^2=a^2，x=asinθ，y=bsinθ。
區域條件：積分割槽域ω為圓柱形、圓錐形、球形或它們的組合。
函式條件：f（x,y,z）為含有與x^2+y^2相關的項。
3、球面座標系法
適用於被積區域ω包含球的一部分。
區域條件：積分割槽域為球形或球形的一部分，錐 面也可以；
函式條件：f（x,y,z）含有與x^2+y^2+z^2相關的項。
10樓：楊必宇
用球面座標：
f=x^2+y^2=(rsinφcosθ)^2+(rsinφsinθ)^2=r^2*sin^2(φ)。
|j|=r^2*sinφ，r∈[1,2]，φ∈[0,π/2]，θ∈[0,2π]。
原積分=∫[0,2π]dθ∫[0,π/2]dφ∫[1,2]f|j|dr。
=∫[0,2π]dθ∫[0,π/2]dφ∫[1,2]r^4*sin^3(φ)dr。
=2π*[(2^5-1)/2}*2/3=124π/3。
3、積分割槽域關於平面x=0對稱故元積分化為∫∫∫[ω]zdv。
這道題很複雜，要以z=1為界討論z的情況，如下圖：
t<1時，用平面z=t截ω得如下圖形：
不難求出圖形面積s(t)，f(t)=ts(t)。
同樣有f=ts(t)。
對t從0到1和從1到[3sqrt(17)-1]/4分別積分而後加和得到所要的答案。
計算三重積分fffx^2+y^2+z^2dxdydz,其中 是由橢圓球x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1所圍成的空間區域,
11樓：匿名使用者
^利用書上那來個例題：源
那裡被積函式只有z^2，積分割槽域跟這個一樣，看看那個方法就知道了。這個可以化成三個積分之和，被積函式分別是x^2,y^2,z^2，可以知道那個值應該是4pi*abc(a^2+b^2+c^2)/15
計算三重積分fffz^2dxdydz,其中 是由橢圓球x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^
12樓：曉龍修理
解題過程如下圖（因有專有公式，故只能截圖）：
求三重積分的方法：
設三元函式f(x,y,z)在區域ω上具有一階連續偏導數，將ω任意分割為n個小區域，每個小區域的直徑記為r?（i=1,2,...,n），體積記為δδ?
，||t||=max，在每個小區域內取點f（ξ?，η?，ζ?
），作和式σf(ξ?，η?，ζ?
)δδ?。
若該和式當||t||→0時的極限存在且唯一(即與ω的分割和點的選取無關)，則稱該極限為函式f(x,y,z)在區域ω上的三重積分，記為∫∫∫f(x,y,z)dv，其中dv=dxdydz。
設三元函式z=f(x,y,z）定義在有界閉區域ω上將區域ω任意分成n個子域δvi(i=123…，n）並以δvi表示第i個子域的體積.在δvi上任取一點。公式：
計算三重積分∫∫∫ωz√(x^2+y^2)dxdydz,其中ω為由柱面x^+y^2=2x及平面z=0
13樓：匿名使用者
半圓柱體也分上下部分的，這裡假設是y≥0那部分了
三重積分主要應用直角座標、柱面座標和球面座標三種座標計算. 通常要判別被積函式 f(x,y,z) 和積分割槽域 ω 所具有的特點，如果被積函式 f(x,y,z) = g(x2 + y2 + z2), 積分割槽域的投影是圓域，則利用球面座標計算。
如果被積函式 f(x,y,z) = g(z)，則可採用先二後一法計算，如果被積函式 f(x,y,z) = g (x2 + y2) , 積分割槽域 dxy 為柱或 ω 的投影是圓域，則利用柱面座標計算，若以上三種特徵都不具備，則採用直角座標計算。
14樓：匿名使用者
半圓柱體也分上下部分的，這裡假設是y≥0那部分了
計算三重積分i=∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz,其中是ω由曲面z=(x^2+y^2)^(1/2)與z=2-x^2-y^2所圍成的閉區域
15樓：曉龍修理
結果為：
解題過程如下：
求三重積分閉區域的方法：
設三元函式f(x,y,z)在區域ω上具有一階連續偏導數，將ω任意分割為n個小區域，每個小區域的直徑記為rᵢ（i=1,2,...,n），體積記為δδᵢ，||t||=max，在每個小區域內取點f（ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ），作和式σf(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)δδᵢ。
若該和式當||t||→0時的極限存在且唯一(即與ω的分割和點的選取無關)，則稱該極限為函式f(x,y,z)在區域ω上的三重積分，記為∫∫∫f(x,y,z)dv，其中dv=dxdydz。
設三元函式z=f(x,y,z）定義在有界閉區域ω上將區域ω任意分成n個子域δvi(i=123…，n）並以δvi表示第i個子域的體積.在δvi上任取一點。
果空間閉區域g被有限個曲面分為有限個子閉區域，則在g上的三重積分等於各部分閉區域上三重積分的和。
先一後二法投影法，先計算豎直方向上的一豎條積分，再計算底面的積分。區域條件：對積分割槽域ω無限制；函式條件：對f（x,y,z）無限制。
先二後一法（截面法）：先計算底面積分，再計算豎直方向上的積分。區域條件：
積分割槽域ω為平面或其它曲面（不包括圓柱面、圓錐面、球面）所圍成函式條件：f（x，y）僅為一個變數的函式。
高等數學三重積分問題，高等數學三重積分計算問題，要詳細過程，本人小白
二重積分是計算曲邊多面體體積，當被積函式 1 時，在數值上等於積分割槽域面積。同理，定積分計算曲邊梯形面積，當被積函式 1 時，在數值上等於積分割槽間長度。因此，當被積函式 1 時，三重積分在數值上等於積分割槽域的體積。本例題都是用截面法求體積。v1 是球體的一部分，x 2 y 2 z 2 4az,...
利用極座標計算二重積分sinxy
使用極座標來計算 令x rcos y rsin x 2 y 2 r 2 則sin x 2 y 2 sinr,而 2 x 2 y 2 4 2,即內 2 r 2 4 2,所以r的範容圍是 2 故原積分 sinr r dr d 上限2 下限0 d 上限2 下限 sinr r dr 顯然 上限2 下限0 d...
計算三重積分zdxdydx其中是由橢圓球面x
ab是x a y b 1這個標準形式橢圓的面積，要求這個橢圓的面積，首先要化成標準形式，也就是右邊必須是1。上式化為 x a 1 z c y b 1 z c 1 因此這個橢圓的長軸和短軸分別為 a 1 z c b 1 z c 因此橢圓面積為 ab 1 z c 這就是被積函式為什麼多出一個 1 z c...