1樓:從前有個唐
^使用極座標來計算
令x=rcosθ,y=rsinθ,
x^2+y^2=r^2
則sin√x^2+y^2= sinr,
而π^2≤x^2+y^2≤4π^2,即內π^2≤r^2≤4π^2,所以r的範容圍是[π,2π]
故原積分
= ∫∫ sinr * r dr dθ
= ∫(上限2π,下限0) dθ * ∫(上限2π,下限π) sinr * r dr
顯然 ∫(上限2π,下限0) dθ=2π,而∫ sinr * r dr 使用分部積分法=∫ -r d(cosr)
= -cosr * r + ∫ cosr dr= -cosr * r + sinr +c (c為常數)代入上限2π,下限π,
所以∫(上限2π,下限π) sinr * r dr= -cos2π *2π +sin2π + cosπ *π -sinπ
= -3π
求大神解答,利用極座標計算二重積分∫∫(x+y)^2dσ (σ)={(x,y)|(x^2+y^2)
2樓:匿名使用者
那你就給硬好zhi評了!
(x2 + y2)2 = 2a(x2 - y2)r4 = 2ar2(cos2θ
dao - sin2θ)
r2 = 2acos2θ
r = √(2acos2θ),雙內紐線
∫容∫d (x + y)2 dxdy
= ∫∫d (x2 + 2xy + y2) dxdy= ∫∫d (x2 + y2) dxdy
= 4∫∫d1 r3 drdθ
= 4∫(0,π/4) dθ ∫(0,√(2acos2θ)) r3 dr
= 4∫(0,π/4) a2cos2(2θ) dθ= 4a2∫(0,π/4) (1 + cos4θ)/2 dθ= 2a2(θ + 1/4 * sin4θ) |(0,π/4)= 2a2 * π/4
= πa2/2
∫∫d √(a^2-x^2-y^2) dxdy,其中d為x^2+y^2≤ax.(利用極座標變換計算
3樓:匿名使用者
答:(3π-4)a3/9
d為x2+y2≤ax,配方得
(x-a/2)2+y2≤(a/2)2
極座標化簡得0≤r≤a*cosθ
整個積分割槽域d都黏在y軸右邊,故-π/2≤θ≤π/2
∫∫_(d) √(a2-x2-y2) dxdy
= ∫(-π/2,π/2) dθ ∫(0,a*cosθ) √(a2-r2)*r dr
利用對稱性,原積分等於在第一象限部分的兩倍
= 2∫(0,π/2) dθ ∫(0,a*cosθ) √(a2-r2)*r dr
而∫ √(a2-r2)*r dr = ∫ √(a2-r2)*(-1/2) d(a2-r2)
= (-1/2)(2/3)(a2-r2)^(3/2) = (-1/3)(a2-r2)^(3/2)
代入積分限得(-1/3)(a3|sinθ|3-a3) = (a3/3)(1-|sinθ|3)
用了對稱性的好處就是可以簡單去掉絕對號,在0≤θ≤π/2中|sinθ|=sinθ
於是= 2∫(0,π/2) (a3/3)(1-sin3θ) dθ
= (2a3/3)*(π/2-2/3)
= (3π-4)a3/9
化二重積分∫∫f(x,y)dxdy為極座標形式的二次積分,其中積分割槽域d為x2+y≤2x
4樓:匿名使用者
x=pcosθ,y=psinθ代入x2+y2=2x,得p=2cosθ
即d:{0≤p≤2cosθ
{-π/2≤θ≤π/2
所以原式=∫∫f(pcosθ,psinθ)pdpdθ=∫(-π/2,π/2)dθ∫(0,2cosθ)f(pcosθ,psinθ)pdpdθ
5樓:匿名使用者
如果很不熟練的話,畫個圖就很容易得到積分限了;但是如果區域複雜,也許很難畫出圖來。所以參考下面無需作圖,直接確定積分限的通用方法:
計算二重積分i=∫∫√x2+y2dxdy,其中d是由圓x2+y2=a2 5
6樓:116貝貝愛
結果為:bai
解題過程如下圖:du
求函式積分的方法:
如果dao一個函式f在某
版個區間上黎曼可積,並且權在此區間上大於等於零。那麼它在這個區間上的積分也大於等於零。如果f勒貝格可積並且幾乎總是大於等於零,那麼它的勒貝格積分也大於等於零。
作為推論,如果兩個 上的可積函式f和g相比,f(幾乎)總是小於等於g,那麼f的(勒貝格)積分也小於等於g的(勒貝格)積分。
函式的積分表示了函式在某個區域上的整體性質,改變函式某點的取值不會改變它的積分值。對於黎曼可積的函式,改變有限個點的取值,其積分不變。
對於勒貝格可積的函式,某個測度為0的集合上的函式值改變,不會影響它的積分值。如果兩個函式幾乎處處相同,那麼它們的積分相同。如果對 中任意元素a,可積函式f在a上的積分總等於(大於等於)可積函式g在a上的積分,那麼f幾乎處處等於(大於等於)g。
如果在閉區間[a,b]上,無論怎樣進行取樣分割,只要它的子區間長度最大值足夠小,函式f的黎曼和都會趨向於一個確定的值s,那麼f在閉區間[a,b]上的黎曼積分存在,並且定義為黎曼和的極限s。
在極座標下計算二重積分:∫∫de^(x2+y2)dσ,其中d是圓形閉區域:x2+y2≤1
7樓:匿名使用者
歡迎採納,不要點錯答案哦╮(╯◇╰)╭
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8樓:匿名使用者
i=∫∫[e^(r^2)](rdrdθ)
=∫<0,2π>dθ∫<0,1>[e^(r^2)](rdr)=2π∫<0,1>[e^(r^2)][(1/2)d(r^2)]=π[e^(r^2)<0,1>
=π(e-1)
9樓:匿名使用者
3d動畫解釋極座標下的二重積分
利用二重積分的幾何意義計算二重積分a Sqrt x 2 y 2 ）d，D x 2 y 2 a 2,a》
由二重積分的幾何意義知所求積分是以d為底面，a x 2 y 2 為頂的立體的體積 z a x 2 y 2 表示的是以 0,0,a 為頂點的錐面 所以原積分 1 3 a 3 分成兩部分計算 b d 表示一個圓柱的體積，圓柱的底圓為x y a 高為b，因此體積為 a b x y d 表示一個圓柱中挖去一...
老師，怎麼用極座標計算1 y 2 的二重積分，積分割槽域為x 2 y 2 1與y x圍成的陰影部分
y x 是一條45 的直線和一條135 的直線 的取值範圍 4 3 4 利用對稱性 的取值範圍 4 2或 2 3 42倍積分值 你少了個2 被積函式少個r 求二重積分，1 x 2dxdy，其中d為x 2 y 2 1，y 0，y x所圍第一象限區域。這裡積分割槽域為單位圓在第一象限的八分之一圓部分 扇...
計算二重積分sinx2y2dxdy,其中Dx2y
我不能傳 自 用換元法 x r cos a y r sin a sin x 2 y 2 dxdy r sin r 2 drda 其中r的積分限為 0,2 a的積分限為 0,2pai 接下來 2pai r sin r 2 dr pai sin r 2 d r 2 令t r 2,然後 pai sin t...