1樓：匿名使用者
設 g(x) = (x-a) * 【ln [ ∫ (0\x) f(t)dt ] - ln(x-a)】 - ∫ (0\x) ln f(t) dt
g(a+0) = 0
g '(x) = ln [ ∫ (0\x) f(t)dt ] - ln(x-a) + (x-a) * f(x) / [ ∫ (0\x) f(t)dt ] - 1 - ln f(x)
= ln【 ∫ (0\x) f(t)dt / [ (x-a) f(x)]】- 1 + （x-a) * f(x) / [ ∫ (0\x) f(t)dt ]
令 u = (x-a) * f(x) / [ ∫ (0\x) f(t)dt ] , u>0, g '(x) = u - lnu - 1
h(u) = u - lnu - 1 在 u =1 取得最小值 h(1)=0 => h(u) ≥ 0
即 g '(x) ≥ 0, g(x) 單增，當 x∈(a,b] 時, g(x) ≥ g(a+0) = 0
g(b) ≥ 0 => 原不等式成立。
遇到類似的題目，儘管不等號兩邊都是常量，有時可以考慮化成函式來解決問題。
2樓：匿名使用者
請教大石兄二世第10題
請教一道定積分不等式證明題
3樓：匿名使用者
嚴格來說，柯西不等式是大綱不要求的，而且樓主的這題考研基本不會出。
回 如果樓主答
有《歷年真題解析》講解的比較全面的那種（比如命題組的那本），可以參考一下2023年真題，第八題第二問。 共四種解法，最後一種解法用到並介紹了柯西不等式。 ps：
樓主好像沒看懂我在前面貼的那個命題，那個命題是要你用柯西不等式先來證明，再來用的；不是直接拿來用的，汗。 不過考試的時候直接用的話，在前面加一句「由柯西不等式和定積分性質得：」，也勉勉強強了。
4樓：匿名使用者
這題我懷疑你的
來結論剛好寫反了自，應該是∫..x/sinxdx>=π/4 ，請你再看看題目
1<π/2，所以sinx在(0,1)恆大於0
然後就是思路問題，注意到arctan(1)=π/4，arctan(0)=0，而arctanx的導數為1/(1 x^2)
如果能夠證明在(0,1)內x/sinx>=1/(1 x^2)，那麼根據定積分的性質就可以證出來了
x/sinx>=1/(1 x^2)這個式子不太好證，根據sinx>0以及1 x^2>0轉成求證x(1 x^2)<=sinx即x x^3-sinx>=0
構造f(x)=x x^3-sinx，那麼f'(x)=1 3x^2-cosx=(1-cosx) 3x^2>=0
所以在(0,1)內恆有f(x)>=f(0)=0
所以在(0,1)內x/sinx>=1/(1 x^2)
於是∫..x/sinxdx>=∫..1/(x^ 1)dx=arctan(1)-arctan(0)=π/4-0=π/4
所以∫..x/sinxdx>=π/4
5樓：匿名使用者
最典bai
型的柯西不等式和定積分du的應用！ 其實
zhi我認為不用取到最dao值的，只需內取區間中容點x=1/2處作為輔助點； 然後在區間 [0，1/2] 和 [1/2，1] 上兩次使用柯西不等式，最後合併定積分的區間即可。 樓主可以證一下，時間緊迫我就不寫了。 附：
此題更一般的命題方法如下： [attach]192204
6樓：匿名使用者
4樓的證法超過了我能理解的水平 弱弱地問一句： 是不是用了所謂的柯西不等式？
7樓：匿名使用者
其實就是取中點分割槽間就沒問題了，不然會不夠嚴謹。
請教大神們一道積分不等式的證明題~
8樓：泥中馬
將積分割槽間分為[0,1/2]，[1/2,1]這樣兩段，採用微分中值定理容易證明。
例如在x=1點處使用微分中值定理有：f(x)=f'(c1)*x c1是區間[0,1/2]中的某一點
在區間[0,1/2]段積分有： |∫f(x)dx|=|f'(c1)|∫xdx=f'(c1)/8≤|f'(c)|/8,其中|f'(c)|=max|f'(x)|
同樣可得在[1/2,1]的積分有 |∫f(x)dx|≤|f'(c)|/8
兩式相加即可
一道定積分的不等式證明題（如圖只問第一步是啥意思）
9樓：寰宇孤心
應該是說因為在區間0到1的被積函式 （f(x)-a）^2 >=0，所以該定積分一定大於0。在高數課本上可以查到該性質的。
考研數學中一道有關積分不等式的證明的題目 10
10樓：匿名使用者
x和x0在區間[a，b]內，x到x0之間f』（t）可能有負值，而a到b之間|f』（t）|都是非負值，所以得到劃線部分的不等式。
求教一道定積分不等式的證明題，不要求完整證明，只是小細節
就是 變換而已 將y f x 帶入，同時積分的上下限也要變換為x對應的上下限 請教一道定積分不等式證明題 嚴格來說，柯西不等式是大綱不要求的，而且樓主的這題考研基本不會出。回 如果樓主答 有 歷年真題解析 講解的比較全面的那種 比如命題組的那本 可以參考一下2003年真題，第八題第二問。共四種解法，...
高等數學，不等式證明題一道高數證明不等式的題
證 兩邊同時取對數得 x 2 2 x，然後設fx，求導判斷x大於4時導數大於0且fx也大於0就ok啦 望採納！記 f x 2 x x 2,f 4 0f x 2 x ln2 2x,f x 2 x ln2 2 2,當 x 4 時，f x 0,則 f x 單調增加。f 4 16ln2 8 0,當 x 4 ...
一道不等式的題
1 甲 75 3000x 2250x 乙 3000 80 x 1 2400x 2400 2 當甲 乙時 2250x 2400x 2400解得x 16 當x 16時，甲 乙兩家都可選 當甲 乙時 2250x 2400x 2400解得x 16 當10 x 16時，選乙旅行社 當甲 乙時 2250x 24...