1樓：匿名使用者
假設拋物線上存在那樣的兩個點 (p,q), (r,s)
它們關於 y = mx 對稱。則
(q+1)^2 = p+1
(s+1)^2 = r+1
(s-q)/(r-p) = -1/m （兩點聯線與y=mx直線垂直，斜率互為負倒數）
(q+s)/2 = m*(p+r)/2 （兩點聯線的中點在 y =mx上）
前面的兩個式子代入到後面的2個式子中。消 p r
(s-q)/[(q+1)^2 - (s+1)^2] = 1/m
q+s = m*[(q+1)^2 + (s+1)^2 -2]
化簡(q+s+2)(q-s)/(s-q) = m
q+s = m(q^2 + 2q + s^2 + 2s)
從 拋物線 (y+1)^2 = x + 1 的函式圖象判斷，當存在 s=q 的那樣兩點時，所求直線是 y = -1 。除此情況之外，上面第一個式子進一步化簡為
q+s+2 = -m
以 q = -(m+s+2) 代入另一個式子
-m-2 = m*[(m+s+2)^2 - 2(m+s+2) + s^2 + 2s]
整理-m-2 = m*(m^2 + s^2 + 4 + 2ms + 4m + 4s - 2m - 2s - 4 + s^2 + 2s)
-m-2 = m*[2s^2 + 2(m+2)s + m^2 + 2m]
2ms^2 + 2m(m+2)s + m^3 + 2m^2 + m + 2 = 0
若存在那樣兩點，則 關於s的方程有兩個解。這兩個解歸 s 和 q 共同所有。判別式大於0。
判別式 = [2m(m+2)]^2 - 4*2m*(m^3 + 2m^2 + m+2)
= 4m^4 + 16m^3 + 16m^2 - 8m^4 - 16m^3 - 8m^2 - 16m
= -4m^4 + 8m^2 - 16m
= -4m*(m^3 - 2m + 4)
= -4m*(m+2)(m^2 -2m + 2)
其中 m^2 - 2m + 2 = (m-1)^2 + 1 恆大於0。
為此只需要
-4m*(m+2) > 0
m(m+2) < 0
-2 < m <0
---------------------------------
檢驗例如 m = -1
關於 s 的一元二次方程化為
2ms^2 + 2m(m+2)s + m^3 + 2m^2 + m + 2 = 0
-2s^2 - 2s -1 + 2 - 1 + 2 = 0
s^2 + s -1 = 0
s = （-1 ±√5）/2
當 s = （-1 +√5）/2 時，q = （-1 -√5）/2
對應的p 和r為
p = (q+1)^2 - 1 = q(q+2)
=[（-1 -√5）/2] * （3 -√5）/2
= (1 -√5)/2
r = s(s+2)
=[（-1 +√5）/2] * （3 +√5）/2
= (1 +√5)/2
s+q = -1
p+r = 1
s+q = -m(p+r) 成立
(s-q)/(p-r) = √5/√5 = 1 = -1/m 成立
2樓：只知道知道
這題目有點難. 是競賽題吧?
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