g x 2x 2 xf x ,求函式g x 的最小值

2023-01-25 05:20:52 字數 804 閱讀 1819

1樓:越姐的小胖

解:∵g(x)=2x^2+xf(x),f(x)=|x-a|∴g(x)=2x^2+x|x-a|,

①當x等於a時,g(x)=2x^2

是故最小值為0

②當x≥a時 g(x)=2x^2+x(x-a)=3x^2-ax∴g(x)的導函式為6x-a

當6x-a≥0時 即x≥a/6時 g(x)單調遞增當6x-a≤0時 即x≤a/6時 g(x)單調遞減所以x=a/6時 對應最小值 所以g(a/6)=-a^2/12③當x≤a時 g(x)=2x^2+x(a-x)=x^2+ax∴g(x)的導函式為2x+a

當2x+a≥0時 即 x≥-a/2時 g(x)單調遞增當2x+a≤0時 即 x≤-a/2時 g(x)單調遞減所以x=-a/2時 對應最小值 所以g(-a/2)=-a^2/4綜上所述:當x=a時,最小值為0

當x≥a時 最小值為-a^2/12

當x≤a時 最小值為-a^2/4

2樓:匿名使用者

將f(x)寫成分段形式:

x >= a, f(x) = 3x^2 - axx < a, f(x) = x^2 + ax對a分類討論,分別研究左右兩段。

若a >= 0,右段拋物線可在x = a取到最小值(因為其對稱軸在x = a/6左邊)f(a) = 2a^2,左段拋物線可在x = -a/2取到最小值f(-a/2) = -a^2/4。故其最小值為f(-a) = -a^2/4。

若a < 0,右段拋物線可在x = a/6取到最小值f(a/6) = -1/12 a^2,左段拋物線在f(a) = 2a^2。故而最小值為f(a/6)=-1/12a^2。

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