1樓:畫折花者
求導和微分差不多一回事
積分和微分是互逆運算
微分,積分和導數是什麼關係
2樓:_深__藍
導數是函式影象在某一點處的斜率,是縱座標增量(δy)和橫座標增量(δx)在δx-->0時的比值。而微分是指函式影象在某一點處的切線在橫座標取得增量δx以後,縱座標取得的增量,一般表示為dy。
積分是微分的逆運算,即知道了函式的導函式,反求原函式。積分被大量應用於求和,通俗的說是求曲邊三角形的面積,這巧妙的求解方法是積分特殊的性質決定的。一個函式的不定積分(亦稱原函式)指另一族函式,這一族函式的導函式恰為前一函式。
微分,積分,導數推導過程:
設函式y = f(x)在x的鄰域內有定義,x及x + δx在此區間內。如果函式的增量δy = f(x + δx) - f(x)可表示為 δy = aδx + o(δx)(其中a是不不隨δx改變的常量,但a可以隨x改變),而o(δx)是比δx高階的無窮小。
那麼稱函式f(x)在點x是可微的,且aδx稱作函式在點x相應於因變數增量δy的微分,記作dy,即dy = aδx。函式的微分是函式增量的主要部分,且是δx的線性函式,故說函式的微分是函式增量的線性主部(△x→0)。
設函式y = f(x)在某區間內有定義,x0及x0+△x在這區間內,若函式的增量δy = f(x0 + δx) − f(x0)可表示為δy = aδx + o(δx),其中a是不依賴於△x的常數, o(δx)是△x的高階無窮小,則稱函式y = f(x)在點x0是可微的。 aδx叫做函式在點x0相應於自變數增量△x的微分。
3樓:匿名使用者
簡單的理解,導數和微分在書寫的形式有些區別,如y'=f(x),則為導數,書寫成dy=f(x)dx,則為微分。積分是求原函式,可以形象理解為是函式導數的逆運算。
通常把自變數x的增量 δx稱為自變數的微分,記作dx,即dx = δx。於是函式y = f(x)的微分又可記作dy = f'(x)dx,而其導數則為:y'=f'(x)。
設f(x)為函式f(x)的一個原函式,我們把函式f(x)的所有原函式f(x)+c(c為任意常數),叫做函式f(x)的不定積分,數學表示式為:若f'(x)=g(x),則有∫g(x)dx=f(x)+c。
4樓:北極雪
1、歷史發展不同:微分的歷史比積分悠久。希臘時期,人類討論「無窮」、「極限」以及「無窮分割」等概念是微分的**基礎。
而積分是由德國數學家波恩哈德·黎曼於19世紀提出的概念。黎曼的定義運用了極限的概念,把曲邊梯形設想為一系列矩形組合的極限。2、數學表達不同:
微分:導數和微分在書寫的形式有些區別,如y'=f(x),則為導數,書寫成dy=f(x)dx,則為微分。積分:
設f(x)為函式f(x)的一個原函式,我們把函式f(x)的所有原函式f(x)+c(c為任意常數),叫做函式f(x)的不定積分,數學表示式為:若f'(x)=g(x),則有∫g(x)dx=f(x)+c。3、幾何意義不同:
微分:設δx是曲線y = f(x)上的點m的在橫座標上的增量,δy是曲線在點m對應δx在縱座標上的增量,dy是曲線在點m的切線對應δx在縱座標上的增量。幾何意義是將線段無線縮小來近似代替曲線段。
積分:實際操作中可以用粗略的方式進行估算一些未知量,但隨著科技的發展,很多時候需要知道精確的數值。要求簡單幾何形體的面積或體積,可以套用已知的公式。
比如一個長方體狀的游泳池的容積可以用長×寬×高求出。4、實際應用不同:微分和積分是相反的一對運算。
微分是求變化率,積分是求變化總量。比如,求加速度,就是用微分,即對速度進行求導,如果是求路程,就是對速度在某個時間段內進行積分。
5樓:燦燦
導數是函式切線的斜率,微分是函式的切線的函式,然後積分就是原來的函式。
求導是方法是原理,可以有很多種實現方法,也即每個地方可以有不同的斜率,是一堆斜率集。 微分是具體加工,就是對某一處進行例項化,是具體某一個斜率結果。 積分是傢俱部件相當於斜率的切點,這一堆切點就組成回原來的函式即是傢俱。
6樓:匿名使用者
導數:如果是在某點處
的導數的話,那導數有幾何意思,那就是在該點處的切線的斜率。如果是函式和導數,就是因變數y對自變數x的變化率。結合後面的微分知識知道,導數其實是微商,即因變數的增量與自變數的增量的比值的極限,寫成公式就是f'(x)=dy/dx,
微分:如果函式在某點處的增量可以表示成
△y=a△x+o(△x) (o(△x)是△x的高階無窮小)
且a是一個與△x無關的常數的話,那麼這個a△x就叫做函式在這點處的微分,用dy表示,即dy=a△x
△y=a△x+o(△x),兩邊同除△x有
△y/△x=a+o(△x)/△x,再取△x趨於0的極限有
lim△y/△x=lim[a+o(△x)/△x]=lima+lim[o(△x)/△x]=a+0
f'(x)=lim△y/△x=a
所以這裡就揭示出了,導數與微分之間的關係了,
某點處的微分:dy=f'(x)△x
通常我們又把△x叫自變數的微分,用dx表示 所以就有
dy=f'(x)dx.證明出了微分與導數的關係
正因為f'(x)=dy/dx,所以導數也叫做微商(兩個微分的商)
不定積分:求積分的過程,與求導的過程正好是逆過程,好加與減,乘與除的關係差不多。求一個函式f(x)的不定積分,就是要求出一個原函式f(x),使得f'(x)=f(x),
而f(x)+c(c為任意常數)就是不定積分∫f'(x)dx的所有原函式,
不定積分其實就是這個表示式:∫f'(x)dx
定積分與不定積分的區別是,定積分有上下限,∫(a,b)f'(x)dx
而不定積分是沒有上下限的,因而不定積分的結果往往是個函式,定積分的結果則是個常數,這點對解積分方程有一定的幫助。
7樓:門板
微積分的發展歷史,先有積分後有導數,最後才有極限
導數,微分,積分之間有什麼聯絡和區別
8樓:匿名使用者
簡單的理解,導數和微分在書寫的形式有些區別,如y'=f(x),則為導數,書寫成dy=f(x)dx,則為微分。積分是求原函式,可以形象理解為是函式導數的逆運算。
通常把自變數x的增量 δx稱為自變數的微分,記作dx,即dx = δx。於是函式y = f(x)的微分又可記作dy = f'(x)dx,而其導數則為:y'=f'(x)。
設f(x)為函式f(x)的一個原函式,我們把函式f(x)的所有原函式f(x)+c(c為任意常數),叫做函式f(x)的不定積分,數學表示式為:若f'(x)=g(x),則有∫g(x)dx=f(x)+c。
9樓:牙牙啊
導數、微分和積分都是一種運演算法則,和加減乘除是一個型別。當年牛頓搞的是導數,和積分。萊布尼茲從另一個角度也搞了研究,他是從微分的角度出發的,來搞微分和積分的。
雖然出發點不一樣,但導數和微分,二者在本質上是一樣的。僅僅表示形式不同。積分是導數(也是微分)的逆運算。
導數導數是微積分中的重要基礎概念。當函式y=f(x)的自變數x在一點x0上產生一個增量δx時,函式輸出值的增量δy與自變數增量δx的比值在δx趨於0時的極限a如果存在,a即為在x0處的導數,記作f'(x0)或df(x0)/dx。 導數是函式的區域性性質。
一個函式在某一點的導數描述了這個函式在這一點附近的變化率。如果函式的自變數和取值都是實數的話,函式在某一點的導數就是該函式所代表的曲線在這一點上的切線斜率。導數的本質是通過極限的概念對函式進行區域性的線性逼近。
例如在運動學中,物體的位移對於時間的導數就是物體的瞬時速度。 不是所有的函式都有導數,一個函式也不一定在所有的點上都有導數。若某函式在某一點導數存在,則稱其在這一點可導,否則稱為不可導。
然而,可導的函式一定連續;不連續的函式一定不可導。
對於可導的函式f(x),x↦f'(x)也是一個函式,稱作f(x)的導函式(簡稱導數)。尋找已知的函式在某點的導數或其導函式的過程稱為求導。實質上,求導就是一個求極限的過程,導數的四則運演算法則也**於極限的四則運演算法則。
反之,已知導函式也可以倒過來求原來的函式,即不定積分。微積分基本定理說明了求原函式與積分是等價的。求導和積分是一對互逆的操作,它們都是微積分學中最為基礎的概念。
10樓:華山論劍部落格
微分:無限小塊的增量可以看作是變化率,也就是導數。
積分:無限小塊的面積和可以看作是整個面積。
11樓:匿名使用者
微分是什麼,微分導數教學,帶你弄懂微積分導數的整體邏輯!
12樓:愛作你的兔子
可導必連續,閉區間上連續一定可積,可積一定有界
高數中積分和微分是什麼意思
13樓:滿意請採納喲
積分一般分為不定積分、定積分和微積分三種
1.0不定積分
設f(x)是函式f(x)的一個原函式,我們把函式f(x)的所有原函式f(x)+c(c為任意常數)叫做函式f(x)的不定積分.
記作∫f(x)dx.
其中∫叫做積分號,f(x)叫做被積函式,x叫做積分變數,f(x)dx叫做被積式,c叫做積分常數,求已知函式的不定積分的過程叫做對這個函式進行積分.
由定義可知:
求函式f(x)的不定積分,就是要求出f(x)的所有的原函式,由原函式的性質可知,只要求出函式f(x)的一個原函式,再加上任意的常數c,就得到函式f(x)的不定積分.
也可以表述成,積分是微分的逆運算,即知道了導函式,求原函式.
2.0定積分
眾所周知,微積分的兩大部分是微分與積分.微分實際上是求一函式的導數,而積分是已知一函式的導數,求這一函式.所以,微分與積分互為逆運算.
實際上,積分還可以分為兩部分.第一種,是單純的積分,也就是已知導數求原函式,而若f(x)的導數是f(x),那麼f(x)+c(c是常數)的導數也是f(x),也就是說,把f(x)積分,不一定能得到f(x),因為f(x)+c的導數也是f(x),c是無窮無盡的常數,所以f(x)積分的結果有無數個,是不確定的,我們一律用f(x)+c代替,這就稱為不定積分.
而相對於不定積分,就是定積分.
所謂定積分,其形式為∫f(x) dx (上限a寫在∫上面,下限b寫在∫下面).之所以稱其為定積分,是因為它積分後得出的值是確定的,是一個數,而不是一個函式.
定積分的正式名稱是黎曼積分,詳見黎曼積分.用自己的話來說,就是把直角座標系上的函式的圖象用平行於y軸的直線把其分割成無數個矩形,然後把某個區間[a,b]上的矩形累加起來,所得到的就是這個函式的圖象在區間[a,b]的面積.實際上,定積分的上下限就是區間的兩個端點a、b.
我們可以看到,定積分的本質是把圖象無限細分,再累加起來,而積分的本質是求一個函式的原函式.它們看起來沒有任何的聯絡,那麼為什麼定積分寫成積分的形式呢?
定積分與積分看起來風馬牛不相及,但是由於一個數學上重要的理論的支撐,使得它們有了本質的密切關係.把一個圖形無限細分再累加,這似乎是不可能的事情,但是由於這個理論,可以轉化為計算積分.這個重要理論就是大名鼎鼎的牛頓-萊布尼茲公式,它的內容是:
若f'(x)=f(x)
那麼∫f(x) dx (上限a下限b)=f(a)-f(b)
牛頓-萊布尼茲公式用文字表述,就是說一個定積分式的值,就是上限在原函式的值與下限在原函式的值的差.
正因為這個理論,揭示了積分與黎曼積分本質的聯絡,可見其在微積分學以至更高等的數學上的重要地位,因此,牛頓-萊布尼茲公式也被稱作微積分基本定理.
3.0微積分
積分是微分的逆運算,即知道了函式的導函式,反求原函式.在應用上,積分作用不僅如此,它被大量應用於求和,通俗的說是求曲邊三角形的面積,這巧妙的求解方法是積分特殊的性質決定的.
一個函式的不定積分(亦稱原函式)指另一族函式,這一族函式的導函式恰為前一函式.
其中:[f(x) + c]' = f(x)
一個實變函式在區間[a,b]上的定積分,是一個實數.它等於該函式的一個原函式在b的值減去在a的值.
積分 integral 從不同的問題抽象出來的兩個數學概念.定積分和不定積分的統稱.不定積分是為解決求導和微分的逆運算而提出的.
例如:已知定義在區間i上的函式f(x),求一條曲線y=f(x),x∈i,使得它在每一點的切線斜率為f′(x)= f(x).函式f(x)的不定積分是f(x)的全體原函式(見原函式),記作 .
如果f(x)是f(x)的一個原函式,則 ,其中c為任意常數.例如, 定積分是以平面圖形的面積問題引出的.y=f(x)為定義在[a,b〕上的函式,為求由x=a,x=b ,y=0和y=f(x)所圍圖形的面積s,採用古希臘人的窮竭法,先在小範圍內以直代曲,求出s的近似值,再取極限得到所求面積s,為此,先將[a,b〕分成n等分:
a=x0 當f(x)的原函式存在時,定積分的計算可轉化為求f(x)的不定積分:這是c牛頓萊布尼茲公式 微分一元微分 定義:設函式y = f(x)在x.的鄰域內有定義,x0及x0 + δx在此區間內. 如果函式的增量δy = f(x0 + δx) − f(x0)可表示為 δy = aδx + o(δx)(其中a是不依賴於δx的常數),而o(δx0)是比δx高階的無窮小,那麼稱函式f(x)在點x0是可微的,且aδx稱作函式在點x0相應於自變數增量δx的微分,記作dy,即dy = aδx. 通常把自變數x的增量 δx稱為自變數的微分,記作dx,即dx = δx.於是函式y = f(x)的微分又可記作dy = f'(x)dx.函式的微分與自變數的微分之商等於該函式的導數. 因此,導數也叫做微商. 當自變數x改變為x+△x時,相應地函式值由f(x)改變為f(x+△x),如果存在一個與△x無關的常數a,使f(x+△x)-f(x)和a·△x之差關於△x→0是高階無窮小量,則稱a·△x是f(x)在x的微分,記為dy,並稱f(x)在x可微.函式可導必可微,反之亦然,這時a=f′(x).再記a·△x=dy,則dy=f′(x)dx. 例如:d(sinx)=cosxdx. 幾何意義: 設δx是曲線y = f(x)上的點m的在橫座標上的增量,δy是曲線在點m對應δx在縱座標上的增量,dy是曲線在點m的切線對應δx在縱座標上的增量.當|δx|很小時,|δy-dy|比|δy|要小得多(高階無窮小),因此在點m附近,我們可以用切線段來近似代替曲線段. 多元微分 同理,當自變數為多個時,可得出多元微分得定義. 運演算法則: dy=f'(x)dx d(u+v)=du+dv d(u-v)=du-dv d(uv)=du·v+dv·u d(u/v)=(du·v-dv·u)/v^2 k的取值由 決定。如果 不是齊次方程的特徵方程的根，k 0 如果 是齊次方程的特徵方程的單根回，答k 1 如果 是齊次方程的特徵方程的重根，k 2。當k的值確定了之後，特解的形式自然確定了。對於y 4y 4y 2x 2 e x，特解可設為x k ax 2 bx c 因為 1不是齊次方程的特徵方程r ... d dx d dx e 2 x 2 4x x 2 e 2 x 2 2x 注 我懷疑 中的 e x 2 應為 e t 2 高等數學,定積分極座標求導問題,為什麼下面的r要平方,究竟有什麼含義?求大佬解救 極座標下微元近似看作扇形,其一弧長是 r d 則 微元扇形面積 是 1 2 r rd 1 2 r ... 內容來自使用者 李長漢 第二節不定抄積分的湊 微分法bai 一 不定積分的湊微分法 例du6.2.1 zhi 通過dao湊微分公式,湊出一箇中間變數 被積函式中那個複合函式的中間變數 得到一個不定積分公式的左邊,從而套公式解決問題 這是 湊微分法 的主要思想.二 不定積分的湊微分舉例 例6.2.2求...高等數學常微分方程的問題，微積分中的定積分問題和常微分方程問題如下圖 常微分方程是如何得到下一步的
數學微積分定積分求導這樣帶平方的怎麼求
不定積分計算用湊微分法,不定積分中的湊微分法解釋一下