1樓:匿名使用者
用湊微分法就可以了。
將被積函式的分子移到微分符號d的後面,變為dx^2,則積分符號前面乘以1/2,再將微分符號後面改寫為d(1+x^2),就可直接用對數積分公式了。結果是
ln(1+x^2)+c
高等數學不定積分題目兩道,求過程
2樓:匿名使用者
【此積分是硬湊出來的(不是公式),正確與否,可將(1)中兩個中括號裡的式子
分別求導,看是否等於其上面的兩個被積函式就可得證;最後的表示式是作了一
些代數變形後的結果,用它求導比較麻煩。】
3樓:電燈劍客
t>0時arctan(1/t)+arctan(t)=pi/2,所以arctan(t)和arctan(-1/t)相差一個常數,t<0時類似
第一題也可以用萬能代換,關鍵是有理函式的積分你要會用部分分式來算(自己看教材)
4樓:匿名使用者
第一題做不出來,是因為你題目抄錯了吧,分母應該為加號這種三角函式積分題,萬能公式代換是常規方法,關鍵是運算量較大;如果基本的三角函式變換、積分爛熟於心,直接積分反而簡單快捷
請看這兩題的直接湊微分解法:
上面的解法只用了兩個基本的湊微分:
5樓:kciub在路上
第一道題,剛才化簡道了,不定積分作用的,cos^2dx/cos^2x-1,後面的公式不太記得了,再換算到dcosx,就能算出來了。完了再求導數驗算一下。祝你好運。
6樓:輕輕地舞
你為什麼這麼刻苦啊 這麼晚還做作業
關於高等數學中有理分式不定積分和因式分解的問題
7樓:_歷史虛無主義
兩個多項式的商p(x)/q(x)稱為有理函式,又稱為有理分式,我們總假定分子多項式p(x) 與分母多項式q(x)之間無公因式,當分子多項式p(x)的次數小與分母多項式q(x),稱有理式為真分式,否則稱為假分式.
對於假分式的積分:利用多項式除法,總可將其化為一個多項式與一個真分式之和的形式.
總結:解被積函式為假分式的有理函式時,用多項式出發將其化簡為多項式和真分式之和的形式,然後進行積分.對於一些常見函式積分進行記憶,有助於提高解題速度。
參考:1.http:
因式分解
提公因式法
各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式.
如果一個多項式的各項有公因式,可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法.
具體方法:當各項係數都是整數時,公因式的係數應取各項係數的最大公約數;字母取各項的相同的字母,而且各字母的指數取次數最低的;取相同的多項式,多項式的次數取最低的.
如果多項式的第一項是負的,一般要提出「-」號,使括號內的第一項的係數成為正數.提出「-」號時,多項式的各項都要變號.
口訣:找準公因式,一次要提淨;全家都搬走,留1把家守;提負要變號,變形看奇偶.
例如:-am+bm+cm=-m(a-b-c);
a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b).
注意:把2a^2+1/2變成2(a^2+1/4)不叫提公因式
(2)公式法
如果把乘法公式反過來,就可以把某些多項式分解因式,這種方法叫公式法.
平方差公式:a^2-b^2=(a+b)(a-b);
完全平方公式:a^2±2ab+b^2=(a±b)^2;
注意:能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式,其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式,另一項是這兩個數(或式)的積的2倍.
立方和公式:a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2);
立方差公式:a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2);
完全立方公式:a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3.
公式:a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
例如:a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)^2.
(3)分解因式技巧
1.分解因式與整式乘法是互為逆變形.
2.分解因式技巧掌握:
1等式左邊必須是多項式;
2分解因式的結果必須是以乘積的形式表示;
3每個因式必須是整式,且每個因式的次數都必須低於原來多項式的次數;
4分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止.
注:分解因式前先要找到公因式,在確定公因式前,應從係數和因式兩個方面考慮.
3.提公因式法基本步驟:
(1)找出公因式;
(2)提公因式並確定另一個因式:
1第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定係數在確定字母;
2第二步提公因式並確定另一個因式,注意要確定另一個因式,可用原多項式除以公因式,所得的商即是提公因式後剩下的一個因式,也可用公因式分別除去原多項式的每一項,求的剩下的另一個因式;
3提完公因式後,另一因式的項數與原多項式的項數相同.
[編輯本段]
競賽用到的方法
(3)分組分解法
分組分解是解方程的一種簡潔的方法,我們來學習這個知識.
能分組分解的方程有四項或大於四項,一般的分組分解有兩種形式:二二分法,三一分法.
比如:ax+ay+bx+by
=a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)(x+y)
我們把ax和ay分一組,bx和by分一組,利用乘法分配律,兩兩相配,立即解除了困難.
同樣,這道題也可以這樣做.
ax+ay+bx+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
幾道例題:
1. 5ax+5bx+3ay+3by
解法:=5x(a+b)+3y(a+b)
=(5x+3y)(a+b)
說明:係數不一樣一樣可以做分組分解,和上面一樣,把5ax和5bx看成整體,把3ay和3by看成一個整體,利用乘法分配律輕鬆解出.
2. x^3-x^2+x-1
解法:=(x^3-x^2)+(x-1)
=x^2(x-1)+ (x-1)
=(x-1)(x2+1)
利用二二分法,提公因式法提出x2,然後相合輕鬆解決.
3. x2-x-y2-y
解法:=(x2-y2)-(x+y)
=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y-1)
利用二二分法,再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b),然後相合解決.
(4)十字相乘法
這種方法有兩種情況.
1x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
這類二次三項式的特點是:二次項的係數是1;常數項是兩個數的積;一次項係數是常數項的兩個因數的和.因此,可以直接將某些二次項的係數是1的二次三項式因式分x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) .
2kx^2+mx+n型的式子的因式分解
如果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m時,那麼kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d).
圖示如下:
×c d
例如:因為
1 -3
×7 2
-3×7=-21,1×2=2,且2-21=-19,
所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3).
十字相乘法口訣:首尾分解,交叉相乘,求和湊中
(5)拆項、添項法
這種方法指把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項(或幾項),使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解.要注意,必須在與原多項式相等的原則下進行變形.
例如:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b).
(6)配方法
對於某些不能利用公式法的多項式,可以將其配成一個完全平方式,然後再利用平方差公式,就能將其因式分解,這種方法叫配方法.屬於拆項、補項法的一種特殊情況.也要注意必須在與原多項式相等的原則下進行變形.
例如:x2+3x-40
=x2+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)2-(6.5)2
=(x+8)(x-5).
(7)應用因式定理
對於多項式f(x)=0,如果f(a)=0,那麼f(x)必含有因式x-a.
例如:f(x)=x2+5x+6,f(-2)=0,則可確定x+2是x2+5x+6的一個因式.(事實上,x2+5x+6=(x+2)(x+3).)
注意:1、對於係數全部是整數的多項式,若x=q/p(p,q為互質整數時)該多項式值為零,則q為常數項約數,p最高次項係數約數;
2、對於多項式f(a)=0,b為最高次項係數,c為常數項,則有a為c/b約數
(8)換元法
有時在分解因式時,可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數,然後進行因式分解,最後再轉換回來,這種方法叫做換元法.
注意:換元后勿忘還元.
例如在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12時,可以令y=x2+x,則
原式=(y+1)(y+2)-12
=y2+3y+2-12=y2+3y-10
=(y+5)(y-2)
=(x2+x+5)(x2+x-2)
=(x2+x+5)(x+2)(x-1)
8樓:匿名使用者
對所有多項式q均可以分解成一次及二次質因式的乘積
x^4+1是可以分解的
比如x^4+1=(x^2+1)-2x^2=(x^2+1-根號2x)(x^2+1+根號2x)
9樓:匿名使用者
x^4+1確實可以du
分解成二次多項式zhi
x^dao4+1=x^4+2x^2+1-2x^2=(x^2+1)^2-2x^2=(x^2+1-√2*x)(x^2+1+√2*x)
注意題中的實數內範圍
教材說容的沒錯,只是有些繁瑣的多項式我們無法用初等方法分解。
學到複數的話你會知道,一個n次多項式一定有n個根(包括重根,非實根),然後一個多項式就一定可以分解成k*(x-x1)*(x-x2)*......的形式,其中xn為多項式等於0的根。
高等數學不定積分
易知sin x 1，所以抄 baix 2k 1 k z，所以x 2 k k z，因此tan x 2 存在。du可以用萬能公式進行zhi 換元。圖一 圖二圖三 令tan x 2 t，利用如上dao公式表示出sinx 再利用圖一公式，兩邊求微分，cos x dx 2 1 t t 1 dt，代入cos x...
數學求不定積分,高等數學求不定積分
不定積分 du 在微積分中,一zhi個函式f 的不定積分,或dao原函式,專或反導數,是一個導數等於f 的函式 f 即f 屬 f。不定積分和定積分間的關係由微積分基本定理確定。其中f是f的不定積分。根據牛頓 萊布尼茲公式,許多函式的定積分的計算就可以簡便地通過求不定積分來進行。性質 公式 記自t 1...
高等數學，不定積分，問題，求解，高等數學問題，求解，不定積分計算問題
f x dx arcsinx c，則f x arcsinx 1 1 x 1 f x 1 x 因此 dx f x arcsinx 2 x 1 x 2 c f x dx 3lnsin4x 4 c，則f x f x dx 3 4cos4x 4sin4x 3cot4x xf 1 x dx f 1 x dx ...