1樓：匿名使用者
^【均值不等式的簡介】
概念：1、調和平均數：hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、幾何平均數：gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an)
3、算術平均數：an=(a1+a2+...+an)/n
4、平方平均數：qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]
這四種平均數滿足hn≤gn≤an≤qn
a1、a2、… 、an∈r +，當且僅當a1=a2= … =an時取「=」號
均值不等式的一般形式：設函式d(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(當r不等於0時);
(a1a2...an)^(1/n)(當r=0時）（即d(0)=(a1a2...an)^(1/n)）
則有：當r 注意到hn≤gn≤an≤qn僅是上述不等式的特殊情形，即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2) ●【均值不等式的變形】 (1)對正實數a,b，有a 2樓：匿名使用者 用數學歸納法證明，需要一個輔助結論。 引理：設a≥0，b≥0，則(a+b)^n≥a^n+na^(n－1)b。 注：引理的正確性較明顯，條件a≥0，b≥0可以弱化為a≥0，a+b≥0,有興趣的同學可以想想如何證明(用數學歸納法)。 原題等價於：((a1+a2+…+an )/n)^n≥a1a2…an。 當n=2時易證； 假設當n=k時命題成立，即 ((a1+a2+…+ak )/k)^k≥a1a2…ak。那麼當n=k+1時，不妨設a(k+1)是a1，a2 ，…，a(k+1)中最大者，則 k a(k+1)≥a1+a2+…+ak。 設s=a1+a2+…+ak， ^(k+1) =^(k+1) ≥(s/k)^(k+1)+(k+1)(s/k)^k[k a(k+1)－s]/k(k+1) 用引理 =(s/k)^k* a(k+1) ≥a1a2…a(k+1)。用歸納假設 數學歸納法簡單易懂，不懂再問～ 三元均值不等式的成立條件是什麼 3樓：demon陌 1.當a+b+c為定值時,三次方根(abc)有最大值為(a+b+c)/3 (當且僅當a=b=c是取等號)。 2.當abc為定值時,(a+b+c)/3 有最小值為三次方根(abc)。三次方根 如果一個數的立方等於a，那麼這個數叫做a的立方根或三次方根（cube root).這就是說，如果x3=a,那麼x叫做a的立方根。（注意： 3√a中 的指數3不能省略，要寫在根號的左上角。） 擴充套件資料： 常用定理 ①不等式f（x）< g（x）與不等式 g（x）>f（x）同解。 ②如果不等式f（x） < g（x）的定義域被解析式h（ x ）的定義域所包含，那麼不等式 f（x）③如果不等式f（x）0，那麼不等式f(x)h（x）g（x）同解。 ④不等式f（x）g（x）>0與不等式同解；不等式f（x）g（x）<0與不等式同解。 關於均值不等式的證明方法有很多，數學歸納法（第一數學歸納法或反向歸納法）、拉格朗日乘數法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以證明均值不等式，在這裡簡要介紹數學歸納法的證明方法： （注：在此證明的，是對n維形式的均值不等式的證明方法。） 用數學歸納法證明，需要一個輔助結論。 注：引理的正確性較明顯，條件a≥0，b≥0可以弱化為a≥0，a+b≥0，有興趣的同學可以想想如何證明（用數學歸納法）（或用二項公式更為簡便）。 特例不等式的特殊性質有以下三種： ①不等式性質1：不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數（或式子），不等號的方向不變； ②不等式性質2：不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變； ③不等式性質3：不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個負數，不等號的方向變。 總結：當兩個正數的積為定值時，它們的和有最小值；當兩個正數的和為定值時，它們的積有最大值。 4樓：莫須晴 我ms明白你的意思了.... 1.當a+b+c為定值時,三次方根(abc)有最大值為(a+b+c)/3 (當且僅當a=b=c是取等號) 2.當abc為定值時,(a+b+c)/3 有最小值為三次方根(abc).. 然後還有什麼問題就說 均值不等式推廣的證明 5樓：非常可愛 ^均值不等式推廣的證明： 1、均值不等式的推廣: 3[al^2+...+an^2]/n>(a1+a2+...+an)/n> va1a2..an>n/(1/a1+1/a2+...+1/an 2、證明: /[a1^2+...+ an^2]/n >(a1+a2+... +an)/n .兩邊平方即證((a1)^2+(a2)^2+...+(an)^2)2(al+a2+... +an) ^2 /m 擴充套件資料 均值不等式推廣理論定義 1、均值不等式，是數學中的一個重要公式。公式內容為hn≤gn≤an≤qn，即調和平均數不超過幾何平均數，幾何平均數不超過算術平均數，算術平均數不超過平方平均數。 2、h,≤gn≤an≤qn被稱為均值不等式。.即調和平均數不超過幾何平均數，幾何平均數不超過算術平均數，算術平均數不超過平方平均數，簡記為「調幾算方」。 6樓：紫色智天使 你會用到均值不等式推廣的證明，估計是搞競賽的把對n做反向數學歸納法 首先 歸納n=2^k的情況 k=1 。。。 k成立 k+1 。。。 這些都很簡單的用a+b>=√(ab) 可以證明得到關鍵是下面的反向數學歸納法 如果n成立 對n-1， 你令an=(n-1)次√(a1a2...a(n-1)然後代到已經成立的n的式子裡，整理下就可以得到n-1也成立。 所以得證 n=2^k中k是什麼範圍 k是正整數 第一步先去歸納2，4，8，16，32 ... 這種2的k次方的數一般的數學歸納法是知道n成立時，去證明比n大的時候也成立。 而反向數學歸納法是在知道n成立的前提下，對比n小的數進行歸納， 7樓：匿名使用者 k是正整數。是n=2^k。它是對n歸納，不是對an或bn歸納。 8樓：澹臺蝶宿君 用數學歸納法證明，需要一個輔助結論。 引理：設a≥0，b≥0，則(a＋b)n≥an＋nan－1b。 注：引理的正確性較明顯，條件a≥0，b≥0可以弱化為a≥0，a＋b≥0,有興趣的同學可以想想如何證明(用數學歸納法)。 原題等價於：((a1＋a2＋…＋a譁處糕肺蕹鍍革僧宮吉n)／n)n≥a1a2…an。 當n＝2時易證； 假設當n＝k時命題成立，即 ((a1＋a2＋…＋ak )／k)k≥a1a2…ak。那麼當n＝k＋1時，不妨設ak＋1是a1，a2 ，…，ak＋1中最大者，則 kak＋1≥a1＋a2＋…＋ak。 設s＝a1＋a2＋…＋ak， ((a1＋a2＋…＋ak＋1)／(k＋1))k+1＝(s／k＋(k ak＋1－s)／(k(k＋1)))k+1 ≥(s／k)k+1＋(k＋1)(s／k)k(kak＋1－s)／k(k＋1) 用引理＝(s／k)k ak＋1 ≥a1a2…ak＋1。用歸納假設 均值不等式是什麼啊 9樓：森海和你 均值不等式是數學中的一個重要公式。公式內容為hn≤gn≤an≤qn，即調和平均數不超過幾何平均數，幾何平均數不超過算術平均數，算術平均數不超過平方平均數。 均值不等式部分的公式： a^2+b^2 ≥ 2ab √(ab)≤(a+b)/2 ≤（a^2+b^2）/2a^2+b^2+c^2≥（a+b+c）^2/3≥ab+bc+ac被稱為均值不等式。·即調和平均數不超過幾何平均數，幾何平均數不超過算術平均數，算術平均數不超過平方平均數，簡記為「調幾算方」。 其中：，被稱為調和平均數。 ，被稱為幾何平均數。 ，被稱為算術平均數。 ，被稱為平方平均數。 10樓：勞碧曼字鈺 均值不等式的簡介】 概念： 1、調和平均數：hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an) 2、幾何平均數：gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an) 3、算術平均數：an=(a1+a2+...+an)/n 4、平方平均數：qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n] 這四種平均數滿足hn≤gn≤an≤qn a1、a2、… 、an∈r +，當且僅當a1=a2= …=an時取「=」號 均值不等式的一般形式：設函式d(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(當r不等於0時); (a1a2...an)^(1/n)(當r=0時）（即d(0)=(a1a2...an)^(1/n)） 則有：當r 注意到hn≤gn≤an≤qn僅是上述不等式的特殊情形，即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2) 11樓：典亦玉韓知 說實話我也不知道，給你網上弄了些，希望可以幫助你 ●【均值不等式的簡介】 概念： 1、調和平均數：hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an) 2、幾何平均數：gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an) 3、算術平均數：an=(a1+a2+...+an)/n 4、平方平均數：qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n] 這四種平均數滿足hn≤gn≤an≤qn a1、a2、… 、an∈r +，當且僅當a1=a2= …=an時取「=」號 均值不等式的一般形式：設函式d(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(當r不等於0時); (a1a2...an)^(1/n)(當r=0時）（即d(0)=(a1a2...an)^(1/n)） 則有：當r 注意到hn≤gn≤an≤qn僅是上述不等式的特殊情形，即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2) 12樓：匿名使用者 概念：1、調和平均數：hn= 2、幾何平均數：gn= 3、算術平均數：an= 4、平方平均數：qn= 5、均值定理： 如果 屬於 正實數 那麼 且僅當時 等號成立。 這四種平均數滿足hn≤gn≤an≤qn a1、a2、… 、an∈r +，當且僅當a1=a2= … =an時取「=」號 均值不等式的一般形式：設函式d(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r）（當r不等於0時）； （a1a2...an)^(1/n）（當r=0時）（即d(0)=(a1a2...an)^(1/n）） 則 [1]當注意到hn≤gn≤an≤qn僅是上述不等式的特殊情形，即d(-1）≤d(0）≤d⑴≤d⑵ 由以上簡化，有一個簡單結論，中學常用2/(1/a+1/b）≤√ab≤（a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2] 均值定理的證明：因為 a 〉0 ， b 〉0 所以（ a+b）/2 - √ab =（ a+b-2√ab）/2 = (√a-√b)^2/2 ≥ 0 即（ a+b）/2≥√ab. 當且僅當a= b ,等號成立。[1] 編輯本段 記憶調幾算方，即調和平均數【hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)】≤ 幾何平均數【gn=(a1a2...an)^(1/n) 】≤算術平均數【an=(a1+a2+... +an)/n】 ≤平方平均數：【qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n】 hn≤gn≤an≤qn 編輯本段 變形⑴對實數a,b，有a^2+b^2≥2ab （當且僅當a=b時取「=」號），a^2+b^2>0>-2ab ⑵對非負實數a,b，有a+b≥2√（a×b）≥0，即（a+b)/2≥√（a×b）≥0 ⑶對負實數a,b，有a+b<-2√（a*b)<0 ⑷對實數a,b，有a(a-b）≥b(a-b) ⑸對非負實數a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0 ⑹對實數a,b，有a^2+b^2≥1/2*(a+b）^2≥2ab ⑺對實數a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2 ⑻對實數a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac ⑼對非負數a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2 ⑽對非負數a,b,c，有（a+b+c)/3≥（abc)^(1/3) 編輯本段 證明均值不等式 方法很多，數學歸納法（第一或反向歸納）、拉格朗日乘數法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等 用數學歸納法證明，需要一個輔助結論。 引理：設a≥0，b≥0，則（a+b)^n≥a^n+na^(n－1)b。 注：引理的正確性較明顯，條件a≥0，b≥0可以弱化為a≥0，a+b≥0，有興趣的同學可以想想如何證明（用數學歸納法）。 原題等價於：（（a1+a2+…+an)/n)^n≥a1a2…an。 當n=2時易證； 假設當n=k時命題成立，即 （（a1+a2+…+ak)/k)^k≥a1a2…ak。那麼當n=k+1時，不妨設a(k+1）是a1，a2 ，…，a(k+1）中最大者，則 k a(k+1）≥a1+a2+…+ak。 設s=a1+a2+…+ak， ^(k+1) =^(k+1) ≥（s/k)^(k+1)+(k+1)(s/k)^k[k a(k+1）－s]/k(k+1) 用引理 =(s/k)^k* a(k+1) ≥a1a2…a(k+1）。用歸納假設 下面介紹個好理解的方法 琴生不等式法 琴生不等式：上凸函式f(x），x1,x2,...xn是函式f(x）在區間（a,b）內的任意n個點， 則有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)] 設f(x)=lnx，f(x）為上凸增函式 所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=ln[(x1*x2*...*xn)^(1/n)] 即（x1+x2+...+xn)/n≥（x1*x2*...*xn)^(1/n) 在圓中用射影定理證明（半徑不小於半弦） 編輯本段 應用例一 證明不等式：2√x≥3-1/x (x>0) 證明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*[（√x)*（√x)*(1/x)]^(1/3)=3 所以，2√x≥3-1/x 例二 長方形的面積為p，求周長的最小值 解：設長，寬分別為a,b，則a*b=p 因為a+b≥2√（ab），所以2(a+b）≥4√（ab)=4√p 周長最小值為4√p 例三 長方形的周長為p，求面積的最大值 解：設長，寬分別為a,b，則2(a+b)=p 因為a+b=p/2≥2√（ab），所以ab≤p^2/16 面積最大值是p^2/16 編輯本段 其他不等式 琴生不等式 （具有凹凸性） 絕對值不等式 權方和不等式 赫爾德不等式 閔可夫斯基不等式 貝努利不等式 柯西不等式 切比雪夫不等式 外森比克不等式 排序不等式 編輯本段 重要不等式 柯西不等式 柯西不等式的一般證法有以下幾種： ⑴cauchy不等式的形式化寫法就是：記兩列數分別是ai,bi，則有 （∑ai^2) * （∑bi^2) ≥ （∑ai * bi)^2. 我們令 f(x) = ∑（ai + x * bi)^2 = （∑bi^2) * x^2 + 2 * （∑ai * bi) * x + （∑ai^2) 則我們知道恆有 f(x) ≥ 0. 用二次函式無實根或只有一個實根的條件，就有 δ = 4 * （∑ai * bi)^2 - 4 * （∑ai^2) * （∑bi^2) ≤ 0. 於是移項得到結論。 ⑵用向量來證. m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn) mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以（b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosx． 因為cosx小於等於1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小於等於a1^+a2^+...... +an^)^1/2乘以（b1^+b2^+......+bn^)^1/2 這就證明了不等式． 柯西不等式還有很多種，這裡只取兩種較常用的證法． 柯西不等式在求某些函式最值中和證明某些不等式時是經常使用的理論根據，我們在教學中應給予極大的重視。 巧拆常數： 例：設a、b、c 為正數且各不相等。 求證：（2/a+c)+(2/b+c)+(2/c+a)>(9/a+b+c) 分析：∵a 、b 、c 均為正數 ∴為證結論正確只需證：2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]>9 而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b) 又 9=(1+1+1)(1+1+1) 證明：θ2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]≥（1+1+1)(1+1+1)=9 又 a、b 、c 各不相等，故等號不能成立 ∴原不等式成立。 像這樣的例子還有很多，詞條裡不再一一列舉，大家可以在參考資料裡找到柯西不等式的證明及應用的具體文獻． 排序不等式 排序不等式是高中數學競賽大綱要求的基本不等式。 設有兩組數 a 1,a 2，…… a n,b 1,b 2，…… b n 滿足 a 1 ≤ a 2 ≤……≤ a n,b 1 ≤ b 2 ≤……≤ b n 則有 a 1 b n + a 2 b n?1 +……+ a n b1≤ a 1 b t + a 2 b t +……+ a n b t ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 +……+ a n b n 式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一個排列， 當且僅當 a 1 = a 2 =……= a n 或 b 1 = b 2 =……= b n 時成立。 以上排序不等式也可簡記為：反序和≤亂序和≤同序和. 證明時可採用逐步調整法。 例如，證明：其餘不變時，將a 1 b 1 + a 2 b 2 調整為a 1 b 2 + a 2 b 1 ，值變小，只需作差證明（a 1 -a 2)*（b 1 -b 2）≥0，這由題知成立。 依次類推，根據逐步調整法，排序不等式得證。 切比雪夫不等式 切比雪夫不等式有兩個 ⑴設存在數列a1,a2,a3.....an和b1,b2,b3......bn滿足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≤b2≤b3≤......≤bn 那麼，∑aibi≥（1/n）（∑ai）（∑bi) ⑵設存在數列a1,a2,a3.....an和b1,b2,b3......bn滿足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≥b2≥b3≥......≥bn 那麼，∑aibi≤（1/n）（∑ai）（∑bi) 琴生不等式 設f(x）為上凸函式，則f[(x1+x2+……+xn)/n]≥[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n，稱為琴生不等式（冪平均）。 加權形式為： f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]≥a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn），其中 ai>=0(i=1,2，……，n），且a1+a2+……+an=1.從圖中直觀地證明e1f1≥e2f2≥e3f3≥e4f4，當a=b時取等號。 冪平均不等式 冪平均不等式：ai>0(1≤i≤n），且α>；β，則有（∑ai^α/n)^1/α≥（∑ai^β/n)^1/β成立 iff a1=a2=a3=……=an 時取等號 加權的形式： 設ai>0，pi>0(1≤i≤n），且α>；β，則有 （∑pi*ai^α/∑pi)^1/α≥（∑pi*ai^β/∑pi)^1/β iff a1=a2=a3=……=an， p1=p2=p3=……=pn 時取等號。 特例：- 調和平均（-1次冪）， - 幾何平均（0次冪）， - 算術平均（1次冪）， ， - 二次平均（2次 1 2 a b c a b 2 b c 2 c a 2 0 當且僅當a b c時取等 數學理工學科 你的計算是完全正確的！這是第一問，你看看有問題麼 有哪些對數學要求低的理工類專業 對的，理工類學生必須要學數學。尤其是像電子資訊科技這種物理型的課程是更是管注重數學的學習，課程也會難一些。但如果想數學... 個人認為均值不等式是柯西的特例比如 a 1 b 1 2 a方 b方 1 1 是由柯西不等式推導而來。均值不等式 柯西不等式 三角不等式 的 一般形式是什麼?均值不等式一般高中只需掌握幾何平均數和算術平均數就可以了,柯西不等式只有在選修不等式中會用到,平常做題用的很少,我寫的是最基本的形式,有推廣你可... 4 4 a 1 b 2根號 4 ab 所以ab 1,等號當且僅當4 a 1 b即a 2,b 1 2取到 均值不等式的使用條件 均值不等式抄的使用條件襲 一正 數字首先要都大於零,兩數為正 二定 數字之 間通過加或乘可以有定值出現,乘積為定值 可以不是具體的數字,但在題目中必須是不變的量 三相等 檢驗...怎麼證明三元均值不等式？用求差法求詳細過程
均值不等式是柯西不等式的特例嗎,均值不等式柯西不等式三角不等式的一般形式是什麼
均值不等式的應用,均值不等式的使用條件