1樓:zzllrr小樂
準確來講,應該是基礎解系中,只有1個解向量,
此時,等價於,係數矩陣的秩為n-1
齊次線性方程組與非齊次線性方程組解向量性質的區別與聯絡
2樓:匿名使用者
區別以下舉例說明:
1、非齊次線
性方程組,等號右邊不全為零的線性方程組,如:
x+y+z=1
2x+y+z=3
x+2y+2z=4
2、齊次線性方程組,等號右邊全為零的線性方程組,如:
x+y+z=0
2x+y+z=0
x+2y+2z=0
一個多項式中各個單項式的次數都相同的式子,我們稱之為齊次式。正如上面例題中的,xyz的次數都是1,所以就是齊次式。
聯絡:方程解加上非齊次方程的一個特解就是對應非齊次方程的解。
齊次線性方程組有無零解和非齊次線性方程組是否有解的判定。
對於齊次線性方程組,當方程組的方程個數和未知量的個數不等時,可以按照係數矩陣的秩和未知量個數的大小關係來判定;
還可以利用係數矩陣的列向量組是否相關來判定;當方程組的方程個數和未知量個數相同時,可以利用係數行列式與零的大小關係來判定,還可以利用係數矩陣有無零特徵值來判定;
對於非齊次線性方程組,可以利用係數矩陣的秩和增廣矩陣的秩是否相等即有關矛盾方程來判定;
還可以從一個向量可否由一向量組線性表出來判定;當方程個數和未知量個數相等時,可以利用係數行列式是否為零來判定非齊次線性方程組的唯一解情況;今年的考題就體現了這種思想。
2、齊次線性方程組的非零解的結構和非齊次線性方程組解的的無窮多解的結構問題。
如果齊次線性方程組有無窮多個非零解時,其通解是由其基礎解系來表示的;
如果非齊次線性方程組有無窮多解時,其通解是由對應的齊次線性方程組和通解加本身一個特解所構成。
3樓:匿名使用者
線性方程組解空間的問題
線性方程組分為齊次線性方程和非齊次方程組。一般n元線性方程組的形式是
寫成矩陣形式就是ax=b,其中a是係數矩陣(m×n),x與b都是1×m列向量
當b=0時,稱為齊次線性方程。
方程的解存性可以看做是用a的列向量能否表示出列向量b的問題,所以當b=0時,至少有一組解即x=0,稱之平凡解;而當a列向量線性無關時,僅有零解;線性相關時就有無陣列解,但是解空間(向量生成的空間)的維數就等於x維數與a的秩的差(n-r,r為a的秩);解空間的基稱為方程組的基礎解系。
當b≠0時,稱為非齊次線性方程(b=0的齊次方程組稱為與之對應的齊次線性方程組)。與齊次方程組不同,它可能沒有解,有解當且僅當a的秩等於ab合併組成的增廣矩陣的秩,說直白就是a的列向量可以表示出b,或者a的列向量組與增廣矩陣的列向量組等價。而且有解時,解向量組的秩也等於x的維數與a的秩的差。
齊次方程組的解與非齊次方程組的解關係是:非齊次組的解向量等於齊次組的解+非齊次組的一個特解;也就是說只要求出齊次組的解空間的一組基礎解系,比如是α1,α2,......,αs,一個非齊次組的特解比如是x1,,那麼非齊次組所有解可以表示為:x=x1+c1α1+c2α2+......+csα,c1,......,cs為任意常數。
所以求非齊次組的通解只需求出其一個特解,再求出對應的齊次組的基礎解系即可。
區別是:齊次組的解可以形成線性空間(不空,至少有0向量,關於線性運算封閉);非齊次組的解不能形成線性空間,因為其解向量關於線性運算不封閉:任何齊次組的解得線性組合還是齊次組的解,但是非齊次組的任意兩個解其組合一般不再是方程組的解(除非係數之和為1)而任意兩個非齊次組的解的差變為對應的齊次組的解。
注意到這一點,就知道,齊次組有基礎解系,而非齊次只有通解,不能稱為基礎解系,因這些解不能生成解空間(線性運算不封閉)。
4樓:數學好玩啊
區別:齊次方程的解向量是n-r個線性無關的向量
非齊次方程的解向量是n-r+1個線性無關的向量,由非齊次特解x0和齊次方程的基礎解系構成。
聯絡:任意兩個非齊次特解之差總是齊次方程的解
線性代數，解齊次線性方程組，線性代數中，解齊次線性方程組和非齊次線性方程組有哪些方法？
2 3 1 5 3 1 2 7 4 1 3 6 1 2 4 7 第1行交換第4行 1 2 4 7 3 1 2 7 4 1 3 6 2 3 1 5 第2行,第3行,第4行,加上第1行 3,4,21 2 4 7 0 7 10 14 0 9 19 34 0 7 9 19 第1行,第3行,第4行,加上第2行...
齊次線性方程組基礎解係為,求證線性無關
要證明by bai0只有零解,只要證明dub的列向量組線 性無zhi關,也就是向量組dao 內,1,2,s線性容無關。證明 設x0 x1 1 x2 2 xs s 0,整理下是 x0 x1 x2 xs x1 1 x2 2 xs s 0。1 若x0 x1 x2 xs 0,則 x1 1 x2 2 xs s...
非齊次線性方程組的基礎解系,求解非齊次線性方程組的基礎解系和特解及通解怎麼算的,完全懵了
齊次線性方程組的解集的最大無關組稱為該齊次線性方程組的基礎解系。基礎解系是線性無關的,簡單的理解就是能夠用它的線性組合表示出該方程組的任意一組解 什麼是基礎解系,為什麼非齊次方程組沒有這種說法 基礎解系就是一個齊次線性方程組的解向量組的最大無關組,也就是說任何一個解向量都能用基礎解系線性表示。而非齊...