1樓:慎銀棟新覺
^a是實矩陣就可以bai實矩陣是du指a中元素都是實數不一zhi定是對稱dao矩陣.
此時r(a^ta)
=r(a)
證明方專法是用齊次線性方程組屬
ax=0
與a^tax=0
同解.a不一定是方陣,
不一定可逆同濟大學編寫高教出版的教材上寫的很清楚。a乘a的轉置x=0與ax=0是同解方程。同解故等秩。證明略。
a×a的轉置的秩等於a的秩,為什麼
2樓:一生一個乖雨飛
因為a乘a的秩等於a的秩,然後任意矩陣的轉置矩陣的秩與原矩陣的秩版相同。a的秩 = a的行秩 = a的列秩,權a^t 是 a 的行列互換,所以 r(a) = r(a^t)。矩陣的列秩和行秩總是相等的,因此它們可以簡單地稱作矩陣 a的秩。
通常表示為 rk(a) 或 rank a。
1、設a為m*n的矩陣;
2、那麼ax=0的解肯定是 at*ax=0的解(at表示a的轉置);
3、至於at*ax=0 左右兩邊乘以xt,(注意檢視是否符合矩陣乘法,前後列行相等才能相乘);
4、上一步化成(ax)t*ax=0,可知ax=0,那麼意味著at*ax=0的解必定也是ax=0的解;
5、兩個方程有相同的解,那麼n-r(ata)=n-r(a) 。
3樓:廄臥詠譜譅
證他們bai同解即可
。設du a是 m×n 的矩陣.
1,首先zhiax=0 是 a'ax=0 的解。
2,a'ax=0 → 兩邊同乘以x』則有
dao回x'a'ax=0 → (ax)' ax=0 →ax=0故兩個方程是同
答解的.根據同解的定理,他們兩個的秩就相等。
a的轉置乘以a的秩 等於 a乘以a的轉置的秩,也等於a的秩。對不對?為什麼?
4樓:匿名使用者
不正確。
a是實矩陣就可以,實矩陣是指a中元素都是實數,不一定是對稱矩陣。
內此時 r(a^ta) = r(a),證明方法是用齊次線容性方程組 ax=0 與 a^tax=0 同解,a不一定是方陣, 不一定可逆。
計算矩陣 a的秩的最容易的方式是高斯消去法。高斯演算法生成的 a的行梯陣形式有同 a一樣的秩,它的秩就是非零行的數目。
應用計算矩陣的秩的一個有用應用是計算線性方程組解的數目。如果係數矩陣的秩等於增廣矩陣的秩,則方程組有解。在這種情況下,如果它的秩等於方程(未知數)的數目,則方程有唯一解;如果秩小於未知數個數,則有無窮多個解。
在控制論中,矩陣的秩可以用來確定線性系統是否為可控制的,或可觀察的。
5樓:匿名使用者
是的。只要a是實矩陣。這個性質不常用,當有時確很見效,比如2012數一的第21題,就可以直接用這個性質。高手往往就是這樣比別人快而準的。加油。
6樓:匿名使用者
當a是實矩陣時正確.
看看這個:
注意: 同解的齊次線性
專方程組
屬, 其係數矩陣的秩相同
線性代數問題:為什麼a和(a的轉置乘以a)這兩個矩陣的秩會相等?
7樓:蟻化殷凝琴
該結論是對實的矩陣a成立。因為ax=0和a'ax=0同解,故r(a)=r(a'a)。
注:若實向量x是ax=0的解,則顯然成立專a'ax=0,即x也是a'ax=0的解。反之,若屬x是a'ax=0的解,則0=x'a'ax=(ax)'(ax),因ax為實向量,故該式等價於ax=0,即x也是ax=0的解。
證明:矩陣a與a的轉置a'的乘積的秩等於a的秩,即r(aa')=r(a).
8樓:
設 a是 m×n 的矩陣。
可以通過證明 ax=0 和a'ax=0 兩個n元齊次方程同解證得 r(a'a)=r(a)
1、ax=0 肯定是 a'ax=0 的解,好理解。
2、a'ax=0 → x'a'ax=0 → (ax)' ax=0 →ax=0
故兩個方程是同解的。
同理可得 r(aa')=r(a')
另外 有 r(a)=r(a')
所以綜上 r(a)=r(a')=r(aa')=r(a'a)
9樓:匿名使用者
這個樣子可能可以:
a=peq 其中e是a的標準型,p,q為可逆矩陣那麼a'=q'e'p';
所以aa'=pe**'e'p';
設**'=(x y)
(z w)
其中x為r*r的矩陣且其軼也為r,因為它是可逆矩陣的一個分塊。
所以上式可以化簡為:
aa'=p(x o)q
(0 0)
而pq都是可逆的,所以
r(aa')=r(x o)
(0 0)
所以它就等於r。
可能看起來比較不爽,可是我也打不出來比較好的效果,湊和看吧。
也可能有比較簡單的方法。就這樣吧。
10樓:匿名使用者
king__dom的做法很棒
為什麼(a的轉置乘以a)的秩=a的秩
11樓:援手
用a'表示a的轉置,要證明r(a'a)=r(a),只需證明方程組ax=0和a'ax=0同解。如果ax=0,兩邊分別左乘a',得a'ax=0,這說明方程組ax=0的解都是方程組a'ax=0的解;另一方面,如果a'ax=0,兩邊分別左乘x',得x'a'ax=0,即(ax)'ax=0,令y=ax,則y'y=0,注意y=ax為n維列向量,因此可設y=(y1,y2,,,yn)',則y'y=y1^2+...+yn^2=0,因此y1=...
yn=0,即y=ax=0,這說明方程組a'ax=0的解都是方程組ax=0的解,綜上我們證明了ax=0和a'ax=0同解,因此r(a'a)=r(a)。
a轉置乘a為什麼與a有相同的秩?
12樓:就醬紫吧
相等,因為a的秩為r,必抄有一個r階的行列式不為0的矩陣,轉置這個仍然是這個。
用a'表示a的轉置,要證明r(a'a)=r(a),只需證明方程組ax=0和a'ax=0,同解,如果ax=0,兩邊分別左乘a',得a'ax=0,這說明方程組ax=0的解都是方程組a'ax=0的解,另一方面如果a'ax=0,兩邊分別左乘x',得x'a'ax=0,即(ax)'ax=0。
13樓:海南正凱律師所
設copy a是 m×n 的矩陣.可以通過證明 ax=0 和a'ax=0 兩個n元齊次方程同解證得 r(a'a)=r(a)1、ax=0 肯定是 a'ax=0 的解,好理解.2、a'ax=0 → x'a'ax=0 → (ax)' ax=0 →ax=0故兩個方程是同解的.
同理可得 r(aa')=r(a')另外 有 r(a)=r(a')所以綜上 r(a)=r(a')=r(aa')=r(a'a)
14樓:廄臥詠譜譅
證他們同解即可。設 a是
m×n 的矩陣.
1,首先ax=0 是 a'ax=0 的解。
2,a'ax=0 → 兩邊同乘以x』則有x'a'ax=0 → (ax)' ax=0 →ax=0
故兩個方程是同內解容的.根據同解的定理,他們兩個的秩就相等。
證明 矩陣A與A的轉置A的乘積的秩等於A的秩，即r AA
設a是m n的矩陣。可以通過證明 ax 0 和a ax 0 兩個n元齊次方程同解證得 r a a r a 1 ax 0 肯定是a ax 0 的解，好理解。2 a ax 0 x a ax 0 ax ax 0 ax 0 故兩個方程是同解的。同理可得 r aa r a 另外有 r a r a 所以綜上 r...
關於矩陣的秩關於矩陣的秩
建議上標用 下標用 然後為了簡便,這裡就用a 表示a的轉置.1.這是一個結論 若b是m n實矩陣,則r b r b b 進而也有r b r b r bb 證明 考慮線性方程組bx 0 與b bx 0 證明二者同解.不妨在實數域上討論 秩是與數域無關的.如果在複數域上討論只需稍加修改 若x滿足 自然有...
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