1樓：甘悅來修淼
1.導數法
利用導數求出其單調性和極值點的極值，最常規，最不易高錯，但往往計算很煩雜
2.分離常數
如x^2/(x^2+1)將其分離成
1－1/(x^2+1)再判斷值域
3.分子分母同除以某個變數
如x/(x^2+1)同時除以x得
1/（x+1/x）分母的值域很好求，再帶進整個函式即可
4.換元法
可以說是3的拓展
如(x+1)/(x^2+1)一類分子分母同時除以x仍無法判斷的。
令t＝x＋1，再把x^2表示成(t-1)^2，再分子分母同時除以t就成了3中的情形
5.基本換元法
型如1/(x+1)+1/(x+1)^2等，直接令t＝1/(x＋1)，求出t的定義域,可以很快將函式換成型如
t^2+t的形式，從而可求值域。當然，要注意t的定義域
6.倒數法
和2基本相同。如x/(x^2+1)先求其倒數x＋1/x,再倒回去，2，6基本類似。
以上是幾條比較基本和常用的方法，當然要注意他們的綜合應用。
2樓：揭雪卉談典
對於同一個函式f(x)，函式的值域是相同的（不管括號內的數是多少都不變）；另一種情況是畫圖平移...巴巴拉大概吧，還是問一下老師吧
最全函式值域的12種求法
3樓：匿名使用者
求函式值域的幾種常見方法
1直接法：利用常見函式的值域來求
一次函式y=ax+b(a 0)的定義域為r，值域為r；
反比例函式 的定義域為,值域為；
二次函式的定義域為r
當a>0時，值域為；
當a<0時，值域為
例1．求下列函式的值域① y=3x+2(-1≤x≤1)
解：①∵-1≤x≤1，∴-3≤3x≤ 3，∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y≤5，∴值域是y∈[-1，5]
②y=x??-2x+3∵1>0∴(4ac-b??)/4a=[4×1×3-（-2）??]/4×1=1即函式的值域是2．
二次函式在定區間上的值域(最值)：
①f(x)=x??-6x+12 x∈[4,6]因為對稱軸x=-b/2a=-(-6)/2×1=3
二次項係數1>0所以f(x)=x??-6x+12 在x∈[4,6]是增函式
所以f(x)min=f(4)=4 f(x)max=f(6)=12
f(x)的值域是[4,12]
②f(x)=x??-6x+12 x∈[0,5]因為對稱軸x=-b/2a=-(-6)/2×1=3
二次項係數1>0所以f(x)=x??-6x+12 在x∈[0,3]是減函式，在x∈(3,5]是增函式
所以f(x)min=f(3)=3
而f(0)=12 f(5)=7，所以f(x)max=f(0)=12 f(x)的值域是[3,12]
3觀察法求y=(√x)+1的值域
∵√x≥0 ∴√x+1≥1∴y=(√x)+1的值域是[1,+∞)
4配方法求y=√(x??-6x-5)的值域
∵-x??-6x-5≥0可知函式的定義域是[-5,-1]
∵-x??-6x-5=-(x+3)??+4因為-5≤x≤-1
所以-2≤x+3≤2 所以0≤(x+3)??≤4所以-4≤-(x+3)??≤0
終於得到0≤-(x+3)??+4≤4所以0≤√(x??-6x-5)≤2
所以y=√(x??-6x-5)的值域是[0,2]
5.影象法求y=｜x+3｜+｜x-5｜的值域
解：因為y=-2x+2(x<-3) y=8 (-3≤x<5) y=2x-2(x≥5)自己畫影象由圖可知y=｜x+3｜+｜x-5｜的值域是[8,＋∞)
6.利用有界性求y=3^x/（1+3^x）的值域
解y=3^x/（1+3^x）兩邊同乘以1+3^x
所以 3^x=y（1+3^x)3^x=y+y3^x3^x-y3^x=y(1-y)3^x=y3^x=y/(1-y)
因為3^x>0 所以 y/(1-y)>0 解得 0 7判別式法求y=1/(2x??-3x+1) 解 ∵2x??-3x+1≠0∴函式的定義域是 將函式變形可得2yx??-3yx+y-1=0當y≠0時,上述關於x的二次方程有實數解δ=9y??-8y(y-1)≥0 所以y≤-8或y≥0當y=0時，方程無解，身體y=0不是原函式的值 所以y=1/(2x??-3x+1)的值域是(-∞,-8]∪(0,+∞) 8換元法求y=2x－√（x-1)的值域 解令t=√（x-1)顯然t≥0以x=t??+1 所以y=2(t??+1)-t=2t??-t+2=2(t-1/4)??+15/8 因為t≥0所以y=2x－√（x-1)的值域是[15/8,+∞) 值域三角函式法、基本不等式法、導數法分別是高一下冊，高二上冊，高三的內容，在這裡就不例舉了 所有求函式值域的方法歸納下 4樓：拉風小帥 函式值域的求法： ①配方法：轉化為二次函式，利用二次函式的特徵來求值；常轉化為型如： 的形式； ②逆求法（反求法）：通過反解，用 來表示 ，再由 的取值範圍，通過解不等式，得出 的取值範圍；常用來解，型如： ； ④換元法：通過變數代換轉化為能求值域的函式，化歸思想； ⑤三角有界法：轉化為只含正弦、餘弦的函式，運用三角函式有界性來求值域； ⑥基本不等式法：轉化成型如： ，利用平均值不等式公式來求值域； ⑦單調性法：函式為單調函式，可根據函式的單調性求值域。 ⑧數形結合：根據函式的幾何圖形，利用數型結合的方法來求值域。 5樓：匿名使用者 你看一下，下面的** 6樓：匿名使用者 函式是中學數學的重要的基本概念之一，它與代數式、方程、不等式、三角函式、微積分等內容有著密切的聯絡，應用十分廣泛。函式的基礎性強、概念多，其中函式的定義域、值域、奇偶性等是難點之一，是高考的常見的題型。下面就函式的值域的求法，舉例說如下。 一．觀察法 通過對函式定義域、性質的觀察，結合函式的解析式，求得函式的值域。 例1求函式y=3+√(2－3x) 的值域。 點撥：根據算術平方根的性質，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算術平方根的性質，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。 ∴函式的知域為 . 點評：算術平方根具有雙重非負性，即：（1）被開方數的非負性，（2）值的非負性。 本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解，這種方法對於一類函式的值域的求法，簡捷明瞭，不失為一種巧法。 練習：求函式y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域為：｛0，1，2，3，4，5｝） 二．反函式法 當函式的反函式存在時，則其反函式的定義域就是原函式的值域。 例2求函式y=(x+1)/(x+2)的值域。 點撥：先求出原函式的反函式，再求出其定義域。 解：顯然函式y=(x+1)/(x+2)的反函式為:x=(1－2y)/（y－1）,其定義域為y≠1的實數,故函式y的值域為｛y∣y≠1,y∈r｝。 點評：利用反函式法求原函式的定義域的前提條件是原函式存在反函式。這種方法體現逆向思維的思想，是數學解題的重要方法之一。 練習：求函式y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函式的值域為｛y∣y<－1或y>1｝） 三．配方法 當所給函式是二次函式或可化為二次函式的複合函式時,可以利用配方法求函式值域 例3：求函式y=√(－x2+x+2)的值域。 點撥：將被開方數配方成完全平方數，利用二次函式的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函式的定義域為x∈[－1，2]。此時－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函式的值域是[0,3/2] 點評：求函式的值域不但要重視對應關係的應用,而且要特別注意定義域對值域的制約作用。配方法是數學的一種重要的思想方法。 練習：求函式y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域為) 四．判別式法 若可化為關於某變數的二次方程的分式函式或無理函式,可用判別式法求函式的值域。 例4求函式y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。 點撥：將原函式轉化為自變數的二次方程，應用二次方程根的判別式，從而確定出原函式的值域。 解：將上式化為（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊） 當y≠2時,由δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 當y=2時,方程(＊)無解。∴函式的值域為2＜y≤10/3。 點評：把函式關係化為二次方程f(x,y)=0，由於方程有實數解，故其判別式為非負數，可求得函式的值域。常適應於形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函式。 練習：求函式y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域為y≤－8或y>0）。 五．最值法 對於閉區間[a,b]上的連續函式y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的極值,並與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函式的最值,可得到函式y的值域。 例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函式z=xy+3x的值域。 點撥：根據已知條件求出自變數x的取值範圍，將目標函式消元、配方，可求出函式的值域。 解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函式z在區間[-1,3/2]上連續，故只需比較邊界的大小。 當x=-1時，z=－5；當x=3/2時，z=15/4。 ∴函式z的值域為｛z∣－5≤z≤15/4｝。 點評：本題是將函式的值域問題轉化為函式的最值。對開區間，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函式的值域。 練習：若√x為實數，則函式y=x2+3x-5的值域為 （ ） a．（－∞，＋∞） b．[－7，＋∞] c．[0，＋∞） d．[－5，＋∞） （答案：d）。 六．圖象法 通過觀察函式的圖象，運用數形結合的方法得到函式的值域。 例6求函式y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。 點撥：根據絕對值的意義，去掉符號後轉化為分段函式，作出其圖象。 解：原函式化為 －2x+1 (x≤1) y= 3 (-12) 它的圖象如圖所示。 顯然函式值y≥3,所以，函式值域[3，＋∞]。 點評：分段函式應注意函式的端點。利用函式的圖象 求函式的值域，體現數形結合的思想。是解決問題的重要方法。 求函式值域的方法較多，還適應通過不等式法、函式的單調性、換元法等方法求函式的值域。 七．單調法 利用函式在給定的區間上的單調遞增或單調遞減求值域。 例1求函式y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。 點撥：由已知的函式是複合函式，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定義域為x≤1/3，在此區間內分別討論函式的增減性，從而確定函式的值域。 解：設f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它們在定義域內為增函式，從而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x 在定義域為x≤1/3上也為增函式，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函式值域為｛y|y≤4/3｝。 點評：利用單調性求函式的值域，是在函式給定的區間上，或求出函式隱含的區間，結合函式的增減性，求出其函式在區間端點的函式值，進而可確定函式的值域。 練習：求函式y=3+√4-x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝) 八．換元法 以新變數代替函式式中的某些量，使函式轉化為以新變數為自變數的函式形式，進而求出值域。 例2求函式y=x-3+√2x+1 的值域。 點撥：通過換元將原函式轉化為某個變數的二次函式，利用二次函式的最值，確定原函式的值域。 解：設t=√2x+1 （t≥0）,則 x=1/2(t2-1)。 於是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2. 所以，原函式的值域為｛y|y≥－7/2｝。 點評：將無理函式或二次型的函式轉化為二次函式，通過求出二次函式的最值，從而確定出原函式的值域。這種解題的方法體現換元、化歸的思想方法。它的應用十分廣泛。 練習：求函式y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝ 九．構造法 根據函式的結構特徵，賦予幾何圖形，數形結合。 例3求函式y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。 點撥：將原函式變形，構造平面圖形，由幾何知識，確定出函式的值域。 解：原函式變形為f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22 作一個長為4、寬為3的矩形abcd，再切割成12個單位 正方形。設hk=x,則ek=2-x,kf=2+x,ak=√(2-x)2+22 ,kc=√(x+2)2+1 。由三角形三邊關係知，ak+kc≥ac=5。當a、k、c三點共 線時取等號。 ∴原函式的知域為｛y|y≥5｝。 點評：對於形如函式y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均為正數)，均可通過構造幾何圖形，由幾何的性質，直觀明瞭、方便簡捷。這是數形結合思想的體現。 練習：求函式y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝） 十．比例法 對於一類含條件的函式的值域的求法，可將條件轉化為比例式，代入目標函式，進而求出原函式的值域。 例4已知x,y∈r，且3x-4y-5=0,求函式z=x2+y2的值域。 點撥：將條件方程3x-4y-5=0轉化為比例式，設定引數，代入原函式。 解：由3x-4y-5=0變形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k為引數) ∴x=3+4k,y=1+3k, ∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。 當k=－3/5時，x=3/5,y=－4/5時，zmin=1。 函式的值域為｛z|z≥1｝. 點評：本題是多元函式關係，一般含有約束條件，將條件轉化為比例式，通過設引數，可將原函式轉化為單函式的形式，這種解題方法體現諸多思想方法，具有一定的創新意識。 練習：已知x,y∈r，且滿足4x-y=0,求函式f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝） 十一．利用多項式的除法 例5求函式y=(3x+2)/(x+1)的值域。 點撥：將原分式函式，利用長除法轉化為一個整式與一個分式之和。 解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。 ∵1/(x+1)≠0，故y≠3。 ∴函式y的值域為y≠3的一切實數。 點評：對於形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函式均可利用這種方法。 練習：求函式y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2） 十二．不等式法 例6求函式y=3x/(3x+1)的值域。 點撥：先求出原函式的反函式，根據自變數的取值範圍，構造不等式。 解：易求得原函式的反函式為y=log3[x/(1-x)], 由對數函式的定義知 x/(1-x)＞0 1-x≠0 解得，0＜x<1。 ∴函式的值域（0，1）。 點評：考查函式自變數的取值範圍構造不等式（組）或構造重要不等式，求出函式定義域，進而求值域。不等式法是重要的解題工具，它的應用非常廣泛。是數學解題的方法之一。 以下供練習選用：求下列函式的值域 1．y=√(15－4x)+2x-5；（｛y|y≤3｝） 2．y=2x/(2x－1)。 （y>1或y<0） 在求這一類函式值域時 一般使用三角函式轉換 或者把整個根號設為t 得到新的函式,再進行求解 當然要注意定義域 帶根號的函式值域求法 例子y 1 x x 3 的求法 函式y 1 x x 3 的定義域是 3,1 在 3,1 上,函式f x 1 x 是減函式,當x 3時,取得最大值2,當x 1時取得最小值... y 2x 1 1 2x 1 2x 1 2x 1 1 2x 1 1 1 2x 1 1 2x 1 0 所以1 1 2x 1 1 所以值域 1 1,達人大都督啊，你不要說的太簡潔了啊.接著大都督的過程來就是 y 1 1 2x 1 此時，從函式的定義域來說，2x 1 0，故定義域是 1 2 1 2,此時，分... 1 f x 1 f x 1 f x 2 1 f x 1 f x 2 1 f x 1 f x 值域為 0，1 f x 1，0 2 1 f x 2 1 2 1 f x 1 1 11 0，對於任意實數x，f x 的表示式恆有意義，y f x 的定義域為r，關於原點對稱。f x 1 f x 1 f x 1 ...求有根號的函式的值域,帶根號的函式值域求法
求一道函式值域
已知函式y f x 在定義域R上是增函式，值域（0 無窮），且滿足f（ x）