1樓:五七六一零四二
二階導數大於零為凹(下凸),二階導數小於零為凸(上凸),凹凸性與一階導數無關
函式的凹凸性為什麼要用二階導數
2樓:晚夏落飛霜
一階導數反映的是函式斜率,而二階導數反映的是斜率變化的快慢,表現在函式的影象上就是函式的凹凸性。
f′′(x)>0,開口向上,函式為凹函式,f′′(x)<0,開口向下,函式為凸函式。
凸凹性的直觀理解:
設函式y=f(x)在區間i上連續,如果函式的曲線位於其上任意一點的切線的上方,則稱該曲線在區間i上是凹的;如果函式的曲線位於其上任意一點的切線的下方,則稱該曲線在區間i上是凸的。
確定曲線y=f(x)的凹凸區間和拐點的步驟:
1、確定函式y=f(x)的定義域;
2、求出在二階導數f"(x);
3、求出使二階導數為零的點和使二階導數不存在的點;4、判斷或列表判斷,確定出曲線凹凸區間和拐點。
3樓:angela韓雪倩
在函式f(x)的圖象上取任意兩點,如果函式圖象在這兩點之間的部分總在連線這兩點的線段的下方,那麼這個函式就是凹函式。
直觀上看,凸函式就是圖象向上突出來的。比如如果函式f(x)在區間i上二階可導,則f(x)在區間i上是凹函式的充要條件是f''(x)>=0;f(x)在區間i上是凸函式的充要條件是f''(x)<=0;
通俗的講,一個函式求了一階導數(如大於o),只能說明是遞增,但不知是遞增的越來越快還是越來越慢(可以類比加速度的思想),只有求了二階導數才知道遞增的速度,即凹凸性。
擴充套件資料:
設函式f(x)在區間i上定義,若對i中的任意兩點x1和x2,和任意λ∈(0,1),都有 f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2),若不等號嚴格成立,即"<"號成立,則稱f(x)在i上是嚴格凹函式。
如果"<="換成">="就是凸函式。類似也有嚴格凸函式。
設f(x)在區間d上連續,如果對d上任意兩點a、b恆有f((a+b)/2)<(f(a)+f(b))/2
那麼稱f(x)在d上的圖形是(向上)凹的(或凹弧);如果恆有f((a+b)/2)>(f(a)+f(b))/2
那麼稱f(x)在d上的圖形是(向上)凸的(或凸弧)
這個定義從幾何上看就是:
在函式f(x)的圖象上取任意兩點,如果函式圖象在這兩點之間的部分總在連線這兩點的線段的下方,那麼這個函式就是凹函式。 同理可知,如果函式影象在這兩點之間的部分總在連線這兩點線段的上方,那麼這個函式就是凸函式。
如果函式f(x)在區間i上二階可導,則f(x)在區間i上是凸函式的充要條件是f''(x)<=0;f(x)在區間i上是凹函式的充要條件是f''(x)>=0;
琴生(jensen)不等式(也稱為詹森不等式):(注意前提、等號成立條件)設f(x)為凸函式,則f[(x1+x2+......+xn)/n]≤[f(x1)+f(x2)+......+f(xn)]/n(下凸);設f(x)為凹函式,f[(x1+x2+......+xn)/n]≥[f(x1)+f(x2)+......+f(xn)]/n(上凸),稱為琴生不等式。
加權形式為:f[(a1*x1+a2*x2+......+an*xn)]≤a1f(x1)+a2f(x2)+......+anf(xn)(下凸);f[(a1*x1+a2*x2+......+an*xn)]≥a1f(x1)+a2f(x2)+......+anf(xn)(上凸),其中ai≥0(i=1,2,......,n),且a1+a2+......+an=1.
如果一個函式f(x)在某個區間i上有f''(x)(即二階導數)>0恆成立,那麼在區間i上f(x)的圖象上的任意兩點連出的一條線段,這兩點之間的函式圖象都在該線段的下方,反之在該線段的上方。
結合一階、二階導數可以求函式的極值。當一階導數等於0,而二階導數大於0時,為極小值點。當一階導數等於0,而二階導數小於0時,為極大值點;當一階導數和二階導數都等於0時,為駐點。
4樓:
我是一線高中數學教師,希望能幫到你。
在函式f(x)的圖象上取任意兩點,如果函式圖象在這兩點之間的部分總在連線這兩點的線段的下方,那麼這個函式就是凹函式。
直觀上看,凸函式就是圖象向上突出來的。比如如果函式f(x)在區間i上二階可導,則f(x)在區間i上是凹函式的充要條件是f''(x)>=0;f(x)在區間i上是凸函式的充要條件是f''(x)<=0;
通俗的講,一個函式求了一階導數(如大於o),只能說明是遞增,但不知是遞增的越來越快還是越來越慢(可以類比加速度的思想),只有求了二階導數才知道遞增的速度,即凹凸性。
函式的凹凸性是怎樣定義的?(二階導數)
5樓:小史i丶
1、定義為:
設函式f(x)在區間i上有定義,若對i中的任意兩點x1和x2,和任意λ∈(0,1),都有:
f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2),
則稱f為i上的凸函式,若不等號嚴格成立,即「>」號成立,則稱f(x)在i上是嚴格凸函式。
同理,如果">=「換成「<=」就是凹函式。類似也有嚴格凹函式。
2、從幾何上看就是:
在函式f(x)的圖象上取任意兩點,如果函式圖象在這兩點之間的部分總在連線這兩點的線段的下方,那麼這個函式就是凹函式。同理可知,如果函式影象在這兩點之間的部分總在連線這兩點線段的上方,那麼這個函式就是凸函式。
直觀上看,凸函式就是圖象向上突出來的。
如果函式f(x)在區間i上二階可導,則f(x)在區間i上是凸函式的充要條件是f''(x)<=0;f(x)在區間i上是凹函式的充要條件是f''(x)>=0。
6樓:八葉梧桐
最簡單的方法是從凹凸本身出發
這也是其名稱由來
最好的辦法是用原始定義(任意fx)得
實際上證明不難
比二階導數容易
7樓:匿名使用者
不同的書有不同的定義,有的說二階導數大於0是凹;有的又說二階導數小於0是凹.要看自己用的是什麼書
二階導數與函式的凹凸性問題
8樓:匿名使用者
記得高數書上有的。
這裡僅我個人理解的,要是不對就一笑而過吧。
因為,已經說了,f(x)有凹凸性,所以,f(x)或者為先減後增,或者為先增後減。
當二階導數大於0,說明一階導數單調遞增。根據f(x)不是先減後增就是先增後減,所以,在此情況下,f(x)只能為先減後增了。所以,在二階導數大於0時,函式為凹函式。
同理可證二階導數小於0時,函式為凸函式。
僅為個人理解哦!不負責任的哦!
9樓:潛春遊鬆
二階大於零,說明一階導數單調增,一階函式單調,說明函式斜率遞增,而凹函式就是這樣,同理樂得凸函式,有疑問樂意**。
10樓:考今
函式凹凸性與二次導數有關
如果函式某點的一階導數等於零
該點的二階導數若大於0,則函式在該點是極小值,函式在該點附近是下凹的若該點的二階導數若小於0,則函式在該點是極大值,函式在該點附近是上凸的
若等於0,則該點為拐點
若函式的二階導數恆大於0,函式是下凹的
若函式的二階導數恆小於0,則函式上凸的
從函式的幾何意義來分析:
因為隨著凹凸變化,曲線的切線斜率會出現相應的改變。
1在凹最低處或凸最高處,切線斜率為0,即一階導數為02在凹圖象最低處左右,一階導數從最低處左方的》0趨於右方的<0,這一過程二階導數》0
在凸圖象最高處左右,一階導數從最高處左方的<0趨於右方的》0,這一過程二階導數<0
因此根據二階導數可以判斷函式的凹凸性質
11樓:廖北伯
f'(a)>0時, f(x)在a附近漸增.
同理, f"(a)>0時, f'(x)在a附近漸增.
f'(u)就是f(x)在x=u的切線斜率.
f'(x)漸增就是f(x)的切線逆時針轉, 也就是凹函式.
f"(a)<0依此類推.
函式的凹凸性是怎樣定義的?(二階導數)
12樓:霜寒雲郎玉
定義:設函式f(x)在區間i上定義,若對i中的任意兩點x1和x2,和任意λ∈內(0,1),都有
f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2),則稱f(x)是i上的凹容函式。
若不等號嚴格成立,即"<"號成立,則稱f(x)在i上是嚴格凹函式。
如果"<="換成">="就是凸函式。類似也有嚴格凸函式。
這個定義從幾何上看就是:
在函式f(x)的圖象上取任意兩點,如果函式圖象在這兩點之間的部分總在連線這兩點的線段的下方,那麼這個函式就是凹函式。
直觀上看,凸函式就是圖象向上突出來的。比如y=-x^2,y=lnx.
如果函式f(x)在區間i上二階可導,則f(x)在區間i上是凹函式的充要條件是f''(x)>=0;f(x)在區間i上是凸函式的充要條件是f''(x)<=0;
參考資料:《數學分析》
f(x)=x2是凹函式。
為什麼二階導數能判斷函式凹凸性?
13樓:匿名使用者
因為隨著凹凸變化,曲線的切線斜率會出現相應的改變。
1在凹最低處或凸最高內處,切線斜率為0,即一階容導數為02在凹圖象最低處左右,一階導數從最低處左方的》0趨於右方的<0,這一過程二階導數》0
在凸圖象最高處左右,一階導數從最高處左方的<0趨於右方的》0,這一過程二階導數<0
因此根據二階導數可以判斷函式的凹凸性質
一階與二階導數,一階導數,二階導數,三階導數各自的作用是幹什麼的系統詳細一點,或者給個連結也行
從一bai階導數 可以看du 出原函式的增減性 zhi.而從二階導數則dao可以看出原函式的 增減性專的增屬減性 即原函式的 彎曲方向和程度 舉例 原函式y x 2 一階導數 y 2x 在區間x 0 上y 0,它表示此時原函式遞減 二階導數 y 2 在區間x 0 上y 2 0,它表示此時原函式圖象向...
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