1樓：競兒爸
這種非常數函式的二重積分可以理解為體積積分，被積函式為物體垂直於被積投影面積的高度函式。
鑑於給定物體的體積為固定值，且根據函式的連續性定義，物體體積可以表達為投影面積與垂直於投影面積σ的物體高度的平均值的乘積。
考慮到被積分函式的連續性，顯然至少存在1個點滿足高度函式值等於高度平均值。
為便於理解，現在將高度平均值視為平行於投影面積的平面，則該平面與被積高度函式所構成的曲面必然存在一個封閉的交線，該交線既滿足高度平均值所決定的平面方程，同時也滿足高度函式方程。
亦即該交線上的所有點，都滿足積分中指定理中等式右邊方程。
高等數學 二重積分中值定理 和「中值」到底有什麼關係？還有老師講幾何意義時畫了個圖，說交線上的點(
2樓：匿名使用者
若用幾何意義曲頂柱體的體積來解釋，
二重積分中值定理中的「中值」點p0處的函式值f(p0)乘以d的面積，也就是一個平頂柱體的面積，
這個面積=曲頂柱體的面積。
所以把f(p0)理解為f在其曲面上取值的中值。
類似於對定積分中值定理的理解，可以類比一下。
關於問題「還有老師講幾何意義時畫了個圖，說交線上的點(在d上的投影)才符合條件，為什麼是交線上？」
其中的複述可能不全。
3樓：匿名使用者
二重積分的幾何意義是曲頂柱體體積，中值定理意思是找一個與之體積相同的同底的平頂柱體，該平頂柱體之高一定介於曲頂柱體高的最大與最小之處間，顯然此兩柱體的交線處所在高度剛好就是f(ξi,ηi).其中(ξi,ηi)是交線在xoy平面上投影線上的任一點！相信你明白了
「研究生入學考試高等數學考試大綱」數學（一）的高等數學部分為準（不含線性代數和概率統計） 20
4樓：匿名使用者
一、試卷滿分及考試時間
試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘．
二、答題方式
答題方式為閉卷、筆試．
三、試卷內容結構
高等教學 56％
線性代數 22%
概率論與數理統計 22％
四、試卷題型結構
試卷題型結構為：
單選題 8小題，每題4分，共32分
填空題 6小題，每題4分，共24分
解答題（包括證明題） 9小題，共94分
高 等 數 學
一、函式、極限、連續
考試內容
函式的概念及表示法 函式的有界性、單調性、週期性和奇偶性 複合函式、反函式、分段函式和隱函式 基本初等函式的性質及其圖形 初等函式 函式關係的建立
數列極限與函式極限的定義及其性質 函式的左極限與右極限 無窮小量和無窮大量的概念及其關係 無窮小量的性質及無窮小量的比較 極限的四則運算 極限存在的兩個準則：單調有界準則和夾逼準則 兩個重要極限:
函式連續的概念 函式間斷點的型別 初等函式的連續性 閉區間上連續函式的性質
考試要求
1．理解函式的概念，掌握函式的表示法，會建立應用問題的函式關係.
2．瞭解函式的有界性、單調性、週期性和奇偶性．
3．理解複合函式及分段函式的概念，瞭解反函式及隱函式的概念．
4．掌握基本初等函式的性質及其圖形，瞭解初等函式的概念.
5．理解極限的概念，理解函式左極限與右極限的概念以及函式極限存在與左、右極限之間的關係．
6．掌握極限的性質及四則運演算法則.
7．掌握極限存在的兩個準則，並會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法．
8．理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限．
9．理解函式連續性的概念（含左連續與右連續），會判別函式間斷點的型別．
10．瞭解連續函式的性質和初等函式的連續性，理解閉區間上連續函式的性質（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），並會應用這些性質．
二、一元函式微分學
考試內容
導數和微分的概念 導數的幾何意義和物理意義 函式的可導性與連續性之間的關係 平面曲線的切線和法線 導數和微分的四則運算 基本初等函式的導數 複合函式、反函式、隱函式以及引數方程所確定的函式的微分法 高階導數 一階微分形式的不變性 微分中值定理 洛必達（l』hospital）法則 函式單調性的判別 函式的極值 函式圖形的凹凸性、拐點及漸近線 函式圖形的描繪 函式的最大值和最小值 弧微分 曲率的概念 曲率圓與曲率半徑
考試要求
1.理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關係，理解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，瞭解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量，理解函式的可導性與連續性之間的關係．
2．掌握導數的四則運演算法則和複合函式的求導法則，掌握基本初等函式的導數公式．瞭解微分的四則運演算法則和一階微分形式的不變性，會求函式的微分．
3．瞭解高階導數的概念，會求簡單函式的高階導數．
4．會求分段函式的導數，會求隱函式和由引數方程所確定的函式以及反函式的導數.
5．理解並會用羅爾(rolle)定理、拉格朗日(lagrange)中值定理和泰勒(taylor)定理，瞭解並會用柯西(cauchy)中值定理．
6．掌握用洛必達法則求未定式極限的方法．
7．理解函式的極值概念，掌握用導數判斷函式的單調性和求函式極值的方法，掌握函式最大值和最小值的求法及其應用．
8．會用導數判斷函式圖形的凹凸性（注：在區間 內，設函式 具有二階導數。當 時， 的圖形是凹的；當 時， 的圖形是凸的），會求函式圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函式的圖形．
9．瞭解曲率、曲率圓與曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑．
三、一元函式積分學
考試內容
原函式和不定積分的概念 不定積分的基本性質 基本積分公式 定積分的概念和基本性質 定積分中值定理 積分上限的函式及其導數 牛頓一萊布尼茨（newton-leibniz）公式 不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法 有理函式、三角函式的有理式和簡單無理函式的積分 反常（廣義）積分 定積分的應用
考試要求
1．理解原函式的概念，理解不定積分和定積分的概念．
2．掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法．
3．會求有理函式、三角函式有理式和簡單無理函式的積分．
4．理解積分上限的函式，會求它的導數，掌握牛頓－萊布尼茨公式．
5．瞭解反常積分的概念，會計算反常積分．
6．掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力、質心、形心等）及函式的平均值．
四、向量代數和空間解析幾何
考試內容
向量的概念 向量的線性運算 向量的數量積和向量積 向量的混合積 兩向量垂直、平行的條件 兩向量的夾角 向量的座標表示式及其運算 單位向量 方向數與方向餘弦 曲面方程和空間曲線方程的概念 平面方程、直線方程 平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件 點到平面和點到直線的距離 球面 柱面 旋轉曲面 常用的二次曲面方程及其圖形 空間曲線的引數方程和一般方程 空間曲線在座標面上的投影曲線方程
考試要求
1.理解空間直角座標系，理解向量的概念及其表示.
2.掌握向量的運算（線性運算、數量積、向量積、混合積），瞭解兩個向量垂直、平行的條件.
3.理解單位向量、方向數與方向餘弦、向量的座標表示式，掌握用座標表示式進行向量運算的方法.
4.掌握平面方程和直線方程及其求法.
5．會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，並會利用平面、直線的相互關係（平行、垂直、相交等）解決有關問題.
6．會求點到直線以及點到平面的距離.
7.瞭解曲面方程和空間曲線方程的概念.
8.瞭解常用二次曲面的方程及其圖形，會求簡單的柱面和旋轉曲面的方程.
9.瞭解空間曲線的引數方程和一般方程.瞭解空間曲線在座標平面上的投影，並會求該投影曲線的方程.
五、多元函式微分學
考試內容
多元函式的概念 二元函式的幾何意義 二元函式的極限與連續的概念 有界閉區域上多元連續函式的性質 多元函式的偏導數和全微分 全微分存在的必要條件和充分條件 多元複合函式、隱函式的求導法 二階偏導數 方向導數和梯度 空間曲線的切線和法平面 曲面的切平面和法線 二元函式的二階泰勒公式 多元函式的極值和條件極值 多元函式的最大值、最小值及其簡單應用
考試要求
1．理解多元函式的概念，理解二元函式的幾何意義.
2．瞭解二元函式的極限與連續的概念以及有界閉區域上連續函式的性質.
3．理解多元函式偏導數和全微分的概念，會求全微分，瞭解全微分存在的必要條件和充分條件，瞭解全微分形式的不變性.
4．理解方向導數與梯度的概念，並掌握其計算方法.
5．掌握多元複合函式一階、二階偏導數的求法.
6．瞭解隱函式存在定理，會求多元隱函式的偏導數.
7．瞭解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程.
8．瞭解二元函式的二階泰勒公式.
9．理解多元函式極值和條件極值的概念，掌握多元函式極值存在的必要條件，瞭解二元函式極值存在的充分條件，會求二元函式的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函式的最大值和最小值，並會解決一些簡單的應用問題.
六、多元函式積分學
考試內容
二重積分與三重積分的概念、性質、計算和應用 兩類曲線積分的概念、性質及計算 兩類曲線積分的關係 格林（green）公式 平面曲線積分與路徑無關的條件 二元函式全微分的原函式 兩類曲面積分的概念、性質及計算 兩類曲面積分的關係 高斯（gauss）公式 斯托克斯（stokes)公式 散度、旋度的概念及計算 曲線積分和曲面積分的應用
考試要求
1．理解二重積分、三重積分的概念，瞭解重積分的性質，瞭解二重積分的中值定理.
2．掌握二重積分的計算方法（直角座標、極座標），會計算三重積分（直角座標、柱面座標、球面座標）.
3．理解兩類曲線積分的概念，瞭解兩類曲線積分的性質及兩類曲線積分的關係.
4．掌握計算兩類曲線積分的方法.
5．掌握格林公式並會運用平面曲線積分與路徑無關的條件，會求二元函式全微分的原函式.
6．瞭解兩類曲面積分的概念、性質及兩類曲面積分的關係，掌握計算兩類曲面積分的方法，掌握用高斯公式計算曲面積分的方法，並會用斯托克斯公式計算曲線積分.
7．瞭解散度與旋度的概念，並會計算.
8．會用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長、質量、質心、、形心、轉動慣量、引力、功及流量等）.
七、無窮級數
考試內容
常數項級數的收斂與發散的概念 收斂級數的和的概念 級數的基本性質與收斂的必要條件 幾何級數與 級數及其收斂性 正項級數收斂性的判別法 交錯級數與萊布尼茨定理 任意項級數的絕對收斂與條件收斂 函式項級數的收斂域與和函式的概念 冪級數及其收斂半徑、收斂區間（指開區間）和收斂域 冪級數的和函式 冪級數在其收斂區間內的基本性質 簡單冪級數的和函式的求法 初等函式的冪級數式 函式的傅立葉（fourier）係數與傅立葉級數 狄利克雷（dirichlet）定理 函式在 上的傅立葉級數 函式在 上的正弦級數和餘弦級數
考試要求
1．理解常數項級數收斂、發散以及收斂級數的和的概念，掌握級數的基本性質及收斂的必要條件.
2．掌握幾何級數與 級數的收斂與發散的條件.
3．掌握正項級數收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法.
4．掌握交錯級數的萊布尼茨判別法.
5. 瞭解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關係.
6．瞭解函式項級數的收斂域及和函式的概念.
7．理解冪級數收斂半徑的概念、並掌握冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域的求法.
8．瞭解冪級數在其收斂區間內的基本性質（和函式的連續性、逐項求導和逐項積分），會求一些冪級數在收斂區間內的和函式，並會由此求出某些數項級數的和.
9．瞭解函式為泰勒級數的充分必要條件.
10．掌握 ， ， ， 及 的麥克勞林（maclaurin）式，會用它們將一些簡單函式間接成冪級數.
11．瞭解傅立葉級數的概念和狄利克雷收斂定理，會將定義在 上的函式為傅立葉級數，會將定義在 上的函式為正弦級數與餘弦級數，會寫出傅立葉級數的和函式的表示式.
八、常微分方程
考試內容
常微分方程的基本概念 變數可分離的微分方程 齊次微分方程 一階線性微分方程 伯努利（bernoulli）方程 全微分方程 可用簡單的變數代換求解的某些微分方程 可降階的高階微分方程 線性微分方程解的性質及解的結構定理 二階常係數齊次線性微分方程 高於二階的某些常係數齊次線性微分方程 簡單的二階常係數非齊次線性微分方程 尤拉（euler）方程 微分方程的簡單應用
考試要求
1．瞭解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念.
2．掌握變數可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法．
3．會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變數代換解某些微分方程．
4．會用降階法解下列形式的微分方程： ．
5．理解線性微分方程解的性質及解的結構．
6．掌握二階常係數齊次線性微分方程的解法，並會解某些高於二階的常係數齊次線性微分方程.
7．會解自由項為多項式、指數函式、正弦函式、餘弦函式以及它們的和與積的二階常係數非齊次線性微分方程．
8．會解尤拉方程．
9．會用微分方程解決一些簡單的應用問題．
高等數學二重積分計算高等數學，計算二重積分？
y x x 2 y 設 x 2 y x u,x 2 y x 2 2xu u 2 y 2u 2xu 2uu 代入得 u 2u 2xu 2uu u u 2u 2x 或 dx du 2x u 2 這是x作為函式 u作為變數的一階線性微分方程，由通解公式 x 1 u 2 c 2 3 u 3 xu 2 2 3...
高等數學二重積分證明題,高等數學二重積分證明題
解 已知一次函 數y kx b k不等於0 經過 1,2 且當x 2時,y 1 將座標點代人一次函版數權y kx b得 2 k b 1 2k b k 1,b 1 一次函式y kx b就等於y x 1.p a,b 是此直線上在第二象限內的一個動點且pb 2pa 則p點的座標就是p 2pa pa 將p點...
高等數學大學數學分析二重積分基礎定義，如圖二重積分極限等式為何成立，求解
找找我發的圖，定積分定義和二重積分定義基本同理推出。只不過一個是二維平面畫格子，一個是三維立體畫方塊 張宇稱之為切土豆 求助！高等數學 二重積分 下圖紅圈裡，高手幫忙解釋下，等式為什麼成立。非常感謝！e x y e x e y 然後將二重積分化為累次積分，比如先積y後積x，原式 0 內r 0 r e...