1樓：匿名使用者
實對稱矩陣正交相似於對角矩陣
即與對角矩陣合同
而對角矩陣的主對角線上的元素即a的特徵值
所以對稱矩陣a正定 <=> a的特徵值都大於0
2樓：大鋼蹦蹦
用二次型標準型想想。
實對稱矩陣為正定矩陣的充要條件為什麼是與單位矩陣合同
3樓：小雨手機使用者
充分性直接按正定的定義驗證，必要性可以用gauss消去法構造出cholesky分解a=ll^t。
1、實對稱矩陣a的不同特徵值對應的特徵向量是正交的。
2、實對稱矩陣a的特徵值都是實數，特徵向量都是實向量。
3、n階實對稱矩陣a必可相似對角化，且相似對角陣上的元素即為矩陣本身特徵值。
4樓：匿名使用者
實對稱陣a是正定陣
則a的特徵值都是正的
而實對稱陣是正交相似於對角陣diag(a1,..,an)即有正交陣p使得a=p'diag(a1,a2,..,an)p=p'diag(√a1,√a2,...
,√an)·diag(√a1,√a2,...,√an)p
記q=diag(√a1,√a2,...,√an)p，則a=q'q，即a與單位陣合同
反之若a與單位陣合同，即存在可逆陣s，使得設a=s's。則對任意非零向量x，有x'ax=x's'sx=(sx)'(sx)>0
∴a是正定的
為什麼對稱矩陣為正定矩陣的充要條件是所有的特徵值都大於0
5樓：庸詘皇
實對稱矩陣正交相似於對角矩陣
即與對角矩陣合同
而對角矩陣的主對角線上的元素即a的特徵值
所以對稱矩陣a正定 a的特徵值都大於0
6樓：電燈劍客
用正交相似變換把這個實對稱矩陣對角化就行了
證明：若a是正定矩陣（a一定是對稱矩陣）的充要條件是所有特徵值大於0
7樓：匿名使用者
a一定正交相似於對角陣，而討論對角陣的正定性比較簡單。經濟數學團隊幫你解答，請及**價。謝謝！
證明 實對稱矩陣是正定矩陣的充要條件是它的特徵值都是正數
8樓：匿名使用者
1.高等代數上有個定理：對於任意一個n級實對稱矩陣a都存在一個n級正交矩 陣t，使t'at成對角型，而對角線上的元素就是它的特徵根。由此，開證，
（1）充分性：當對稱矩陣a的特徵根都為正數時，對角型矩陣t'at對角線上的元素均為正數，所以t'at為正定矩陣，又t為正交陣，所以a是正定陣。
（2）必要性：由於對稱矩陣a是正定矩陣，所以存在一個正交矩陣t，使t'at成對角型的對角線上的元素均為正值，而對角線上的元素又為a的所有特徵值，即a的特徵值均為正數。
你好，希望能夠幫到你。
9樓：真富貴考釵
這個問題首先要知道什麼是正定陣,以及實對稱矩陣的性質.
第一正定陣定義:a正定,就是任意非零列向量x,x'ax>0[這裡注意x'ax按照矩陣乘法後是一個數,既不是矩陣也不是向量]
第二譜分解定理:實對稱矩陣a,存在正交矩陣p,使得
p'ap為對角形,對角線上是a的n個特徵值,即p'ap=diag.
我們先來證明充分性
a實對稱,則存在正交矩陣p'ap=diag,對角線上是n個特徵值.
當對角線上特徵值全是正數時:對任意的非零向量x,y=px(此時x和y一一對應).則y'ay=x'p'apx=x'diagx
此時x'diagx按照矩陣乘法,可見是正數.這就說明了這樣一個結論:任意非零向量y,令x=p逆y,則y'ay>0,滿足正定定義.
反之,當a正定時,任意的向量尤其列向量x=(1,0...0)',令y=px,那麼y'ay=x'p'apx=x'diagx=k1(對角陣的第一個元素,也就是a的第一個特徵...則存在正交矩陣p',則y',令y=px;ay>,2)位(3..
;0[這裡注意x',所以k1>:實對稱矩陣a;ap為對角形,就會有對角陣上(2..,以及實對稱矩陣的性質,對角線上是n個特徵值;,這個問題首先要知道什麼是正定陣;diagx
此時x',因此n個特徵值都大於0,令x=p逆y;0;ay>,1;apx=x',3)位直到(n,存在正交矩陣p,1)..
一下分別取x=(0;p',就是任意非零列向量x;0,當a正定時.
本題的關鍵是要會運用正定性的定義(非零向量x的任意性.
反之;p'.
第一正定陣定義,可見是正數,n)位的元素是正數.0)'.這就說明了這樣一個結論;ay=x'ap=diag;0:對任意的非零向量x;apx=x'.
我們先來證明充分性
a實對稱,y=px(此時x和y一一對應):任意非零向量y,對角線上是a的n個特徵值;ay=x',也就是a的第一個特徵值).則y'.
0)',x',,滿足正定定義,二次型是個數),;ap=diag;diagx按照矩陣乘法:a正定,0.按照正定定義y'..
,譜分解定理(p是由a唯一決定的;ax>.
當對角線上特徵值全是正數時,即p'.,那麼y',任意的向量尤其列向量x=(1;直到x=(0,0,既不是矩陣也不是向量]
第二譜分解定理;diagx=k1(對角陣的第一個元素,使得
p'ax按照矩陣乘法後是一個數
設a是n階實對稱矩陣,證明a是正定矩陣的充分必要條件是a的特徵值都大於0
10樓：匿名使用者
證: a是n階實對稱矩陣, 則存在正交矩陣p, p'=p^-1滿足: p'ap = diag(a1,a2,...
,an). 其中a1,a2,...,an是a的全部特徵值
則a對應的二次型為:
f = x'ax
令 x=py 得
f = y'p' apy = y'diag(a1,a2,...,an)y = a1y1^2+...+any^n
所以 a正定 <=> f 正定 <=> ai>0.
即 a是正定矩陣的充分必要條件是a的特徵值都大於0.
滿意請採納^_^
11樓：點爺
不好意思啊，我才高中畢業。
矩陣A是對稱矩陣，證明矩陣A是正定矩陣的充要條件是有實可逆矩陣C使A C T C
充分性 若存在可逆矩陣c使得a c c，則對任意的非零列向量x，有x ax x c cx cx cx 0 若 cx cx 0，則cx 0，這與c可逆則cx 0無非零解矛盾 所以a正定 必要性 若a正定，則a與單位陣合同，從而存在可逆矩陣c，使得a c ec c c 設證明a是正定矩陣，c是可逆矩陣，...
請寫出矩陣A是正定矩陣充要條件，請寫出矩陣A是正定矩陣三個充要條件
這道題實在看不懂，沒辦法回答。矩陣a是一個對稱矩陣，證明矩陣a是正定矩陣的充要條件是有實可逆矩陣c使a c t c 充分性 若存在可逆矩陣c使得a c c，則對任意的非零列向量x，有x ax x c cx cx cx 0 若 cx cx 0，則cx 0，這與c可逆則cx 0無非零解矛盾 所以a正定 ...
設A是n階實對稱矩陣,證明A是正定矩陣的充分必要條件是A的特
證 a是n階實對稱矩陣,則存在正交矩陣p,p p 1滿足 p ap diag a1,a2,an 其中a1,a2,an是a的全部特徵值 則a對應的二次型為 f x ax 令 x py 得 f y p apy y diag a1,a2,an y a1y1 2 any n 所以 a正定 f 正定 ai 0...