1樓：電燈劍客
樓上的**當中是有錯誤的，偏導存在不可以推出可微。
偏導存在且連續 => 可微
可微 => 偏導存
在這兩個都是充分不必要的。
至於為什麼充分不必要，只需要一個例子就行了，比如f(x,y)=x^2*sin(1/x)，f(0,y)=0，這樣(0,0)點可微但是偏導不連續。
2樓：匿名使用者
有連續偏導推出可微是教材定理，可翻閱教材看具體證明。
但可微，不能推出偏導數連續，反例見參考資料。
3樓：匿名使用者
舉個二元的例子：f(x,y)的全微分是
df(x,y)=əf/əx*dx+əf/əy*dy要使df(x,y)在點(x0,y0)的全微分存在，必須且僅須上式右邊əf/əx與əf/əy在點(x0,y0)的值存在
也就是說f對x與y的偏導數在點(x0,y0)的值存在再進一步，若f對x與y的偏導數在點(x0,y0)是連續的，則肯定是存在的；但反之，若偏導數在該點存在，不一定能推出偏導數在該點連續的。
因此偏導數連續能推出可微，但反之不能；故是可微的充分不必要條件
高數 多元函式 為什麼偏導數連續是可微的充分不必要條件
4樓：蘇規放
1、可導、可微的概念，並不是國際微積分的概念，可導、可微的區別，僅僅只是中國式微積分概念；
2、在英文中，只有 differentiable 的概念，我們時而翻譯成可導，時而翻譯成可微，沒有一定之規；
3、類似的並且是緊密相關的概念有：
total differentiation ，我們時而譯成全導數，時而譯成全微分；
partial differentiation ，我們時而譯成偏導數，時而譯成偏微分；
、、、、、、、、類似的非驢非馬的中文概念汗牛充棟，罄竹難書。
用中文寫出的很多**，已經完全無法再翻譯成英文，歧途岔道，是註定的。
正因為無法納入國際微積分概念，調侃國際微積分，自我安慰，就成了習慣。
4、在中國式的微積分概念中：
在所有方向上可以求導，也就是方向導數，就是可微；
可微一定可導，可導不一定可微。
偏導函式連續，按照向量合成的方法，就可以得到各個方向的方向導數，也就自然而然地可微了，也就是充分了。
可微就是在各個方向的方向導數存在，而方向導數是由各個正交方向上的偏導數在欲求的方向導數的方向上分量之和所確定，只要某點的各偏導數存在，就能得到各方向上的方向導數。只要各方向上的方向導數存在，就是可微。並未要求各偏導數連續，這就是必要條件。
5樓：匿名使用者
1、偏導數連續是可微分充分條件，但不是必要條件。
2、比如下面這個函式f(x,y)，函式的表示式為當x,y均為有理數時f(x,y)=x^2+y^2；當x,y中有一個變數為無理數時f(x,y)=0。
3、考慮這個函式在（0,0）處的微分，顯然⊿u=f(⊿x,⊿y)-f(0,0)=0*⊿x+0*⊿y+a，其中a的表示式為：當⊿x,⊿y都是有理數時，a=⊿x^2+⊿y^2；當⊿x,⊿y中有一個無理數時a=0。
4、所以a為√⊿x^2+⊿y^2的高階無窮小，這也就說明了函式f(x,y)在（0,0）是可微的。
5、根據導數定義可以證明函式f在（0,0）處對於x和y的偏導數都等於0。
6、在除（0,0）以外的所有有理陣列點的偏導數都是不存在的，因為當x,y為有理數，⊿x以無理數方向趨於0時，⊿f=f(x+⊿x,y)-f(x,y)=-x^2-y^2，所以⊿f/⊿x的極限不存在。
7、所以f在（0,0）的任意一個領域內導數不滿足連續條件，但f可微，所以那只是充分而非必要條件。
8、可微必定連續且偏導數存在；連續未必偏導數存在，偏導數存在也未必連續；連續未必可微，偏導數存在也未必可微；偏導數連續是可微的充分不必要條件。
6樓：華師
導數都是呢。肯定是可微必須連續，連續不一定可微賽。舉可反例，絕對值x的函式影象就是連續的可是在x=0就是不可導的呢
高數 關於多元函式微分學。如圖1連續可偏導是可微的充分條件，那為什麼圖2已經連續可偏導了還不可微。
7樓：匿名使用者
明顯是你理解錯了
圖1裡說的是偏導數連續
意思是求出來的偏導函式f'x和f'y
二者都連續，那麼當然函式可微
但並不是說函式
在某點可偏導就一定偏導數連續
所以在某點可偏導不一定可微
高數問題，二元函式，為什麼偏導數連續函式就可微？
8樓：貓果
這是由二元函式可微的充分條件和必要條件得出的推論
9樓：我要控制
看影象應該是一個平面去掉一個點 再加兩條相互垂直的直線 這個是函式嘛 ……
多元函式的連續,可微的定義,以及連續,偏導,可微之間的關係
10樓：匿名使用者
多元函式性質之間的關係問題
多元函式這些性質之間的關係是：可微分是最強 的性質，即可微必然可以推出偏導數存在，必然可以推出連續。反之偏導數存在與連續之間是不能相互推出的（沒有直接關係），即連續多元函式偏導數可以不存在；偏導數都存在多元函式也可以不連續。
偏導數連續強於函式可微分，是可微分的充分不必要條件，相關例子可以在數學分析書籍中找到。
其中可微分的定義是：
以二元函式為例（n元類似）
擴充套件：可微分可以直觀地理解為用線性函式逼近函式時的情況（一元函式用一次函式即切線替代函式增量，二元函式可以看做是用平面來代替，更多元可以看做是超平面來的代替函式增量，當點p距離定點p0的距離p趨於零時，函式增量與線性函式增量的差是自變數與定點差的高階無窮小（函式增量差距縮小的速度快與自變數p靠近p0的速度））。
11樓：匿名使用者
1、如果二元函式f在其域中的某個點處是可分的，則二元函式f存在於該點的偏導數處，而該函式不一定成立。
2、如果二進位制函式f在其域中的某個點處是可分的，則二進位制函式f在該點處是連續的，反之亦然。
3、二元函式f是否在其域中的某個點處是連續的，與偏導數的存在無關。
4、可區分和充分條件：函式的偏導數存在並且在某一點的某個鄰域中是連續的，並且此時二元函式f是可分的。
設d為一個非空的n 元有序陣列的集合， f為某一確定的對應規則。若對於每一個有序陣列 ( x1,x2,…,xn)∈d，通過對應規則f，都有唯一確定的實數y與之對應，則稱對應規則f為定義在d上的n元函式。
記為y=f(x1,x2,…,xn) 其中 ( x1,x2,…,xn)∈d。 變數x1,x2,…,xn稱為自變數，y稱為因變數。
當n=1時，為一元函式，記為y=f(x),x∈d，當n=2時，為二元函式，記為z=f(x,y),(x,y)∈d。二元及以上的函式統稱為多元函式。
12樓：匿名使用者
多元函式連續、偏導數存在、可微之間的關係一般有：
1、若多元函式f在其定義域內某點可微，則多元函式f在該點偏導數存在，反過來則不一定成立。
2、若多元函式函式f在其定義域內的某點可微,則多元函式f在該點連續，反過來則不一定成立。
3、多元函式f在其定義域內某點是否連續與偏導數是否存在無關。
4、可微的充要條件：函式的偏導數在某點的某鄰域記憶體在且連續，則多元函式f在該點可微。祝好。
偏導數存在且連續是可微的什麼條件
13樓：是你找到了我
充分不必要條件，即：偏導數存在且連續則函式可微，函式可微推不出偏導數存在且連續。
1、若二元函式f在其定義域內某點可微，則二元函式f在該點偏導數存在，反過來則不一定成立。
2、若二元函式函式f在其定義域內的某點可微,則二元函式f在該點連續，反過來則不一定成立。
3、二元函式f在其定義域內某點是否連續與偏導數是否存在無關。
4、可微的充要條件：函式的偏導數在某點的某鄰域記憶體在且連續，則二元函式f在該點可微。
14樓：555小武子
偏導數連續是可微的充分不必要條件
其他關係還有：
可微必定連續且偏導數存在
連續未必偏導數存在，偏導數存在也未必連續
連續未必可微，偏導數存在也未必可微
15樓：締巽追歌
對於z=f(x, y)這個二元函式在某一點處，有
以上箭頭均表示單向推導
怎樣理解多元函式，連續與偏導存在的關係，偏導連續之間的關係
16樓：angela韓雪倩
多元函式連續不是偏導存在的充分條件也不是必要條件。
而偏導連續則是更強的條件，即偏導存在且連續可以推出多元函式連續，反之不可。
下面來分析，首先大家需要了解這些定義都是人定義出來的，可以反映多元函式的部分特徵。所以，只要掌握了這些定義的意義就可以看出其背後的本質，才能判斷定義間的相互關係。
多元函式在某點可偏導，可是可能在這點沿不同方向的極限不同，所以不一定連續。
而連續函式的偏導是不是一定存在，這個例子在一元函式裡也很常見，比如x的絕對值，在x=0的時候沒有導數。
偏導連續（是偏導連續哦！而不是偏導數存在+函式連續！是偏導數存在且偏導數連續），是可以推出可微的。
而可微是很強的結論，因為可以用十分特殊的線性函式來逼近的話，很多特殊的反例就不見了，而線性函式是連續的，這由定義可以看出來。
所以，偏導存在且連續可以推出函式連續，反之不能。
反例沿用之前的反例，函式連續，但偏導不存在。
17樓：筆記本在記錄我
【升級版答案】
偏導連續是高富帥，可以推出函式可微這個路人。函式可微這個路人可以推出函式連續和偏導存在（即可偏導）這兩個吊絲。吊絲之間沒有任何關係。
★一句話總結：高富帥→路人→兩個吊絲★
下面是原答案。
首先有兩點要說明一下。
1.偏導數存在且連續＝偏導數連續。
2.要分清函式連續和偏導數連續。可微指的是函式可微。
下面來回答問題。
1.偏導數存在與函式連續無任何必然關係。
2.偏導數連續是函式連續的充分不必要條件。
3.偏導數存在且有界是函式連續的充分不必要條件。（額外補充）（注意有界二字！）
4.偏導數連續是可微的充分不必要條件。
5.可微是偏導數存在的充分不必要條件。
6.可微是函式連續的充分不必要條件。
接著對於疑問點較多的第一點給予更詳細的解釋。（連續不能推出可導，這個大家都知道，我就不贅述了。）
函式連續通俗一點說，就是一元函式在曲線上沒有空心點，二元函式在面上的任何一個方向上沒有空心點。二元函式在某點連續要求面上的該點在其周圍360°的鄰域內都不存在空心。而二元函式有偏導的必要條件是該點在x軸方向和y軸方向上的鄰域沒有空心，充要條件即滿足偏導數的極限定義式。
所以，二元函式的偏導數無論是否存在，只能保證該函式在x軸與y軸方向上的連續性，無法保證該點360°鄰域上的連續性，因而函式的連續也是未知的。
最後說一句不太理解點踩的人是什麼想法，我說的這麼直白你都看不懂嗎。
18樓：一頁千機
先回答問題：
1.多元函式連續不是偏導存在的充分條件也不是必要條件。
2.而偏導連續則是更強的條件，即偏導存在且連續可以推出多元函式連續，反之不可。
下面來分析，首先大家需要了解這些定義都是人定義出來的，可以反映多元函式的部分特徵。所以，只要掌握了這些定義的意義就可以看出其背後的本質，才能判斷定義間的相互關係。
定義1.多元函式連續，f為多元函式，對於其定義域內任一聚點x，當一列趨近於x時，f（xn）趨近於f（x），則稱f在定義域上連續。需要注意的是，這裡的是可以用任何方式趨近x的，是任何方式！！
這就是很關鍵的一點了，後面的很多判斷也是基於此。
2.多元函式偏導存在，具體定義這裡不好打出來。我說一下，和一元函式十分類似的定義，把其餘的元視為常量，然後求函式值之差和自變數之差的商的極限即可。
這裡的關鍵是，只在一個方向上的極限！
3.多元偏導數存在且連續，結合1.2的定義即可。
所以，由1.2定義可以看出來多元函式連續和其偏導存在是沒有直接聯絡的。
多元函式在某點可偏導，可是可能在這點沿不同方向的極限不同，所以不一定連續。
而連續函式的偏導是不是一定存在，這個例子在一元函式裡也很常見，比如x的絕對值，在x=0的時候沒有導數。
而偏導連續這就很強了。我們這裡引入多元函式可微的概念，具體定義敘述很麻煩。
我的理解是類似於用多元線性函式來逼近一般多元函式。
而偏導連續（是偏導連續哦！而不是偏導數存在+函式連續！是偏導數存在且偏導數連續），是可以推出可微的。（這個證明我也沒有寫，參見北京大學出版社的《數學分析3》作者伍勝健）
而可微是很強的結論，因為可以用十分特殊的線性函式來逼近的話，很多特殊的反例就不見了，而線性函式是連續的，這由定義可以看出來。
所以，偏導存在且連續可以推出函式連續，反之不能。
反例沿用之前的反例，函式連續，但偏導不存在。
以上，有我沒有解釋清楚或者沒有看懂的可以追問。
謝謝**~
高數多元函式為什麼偏導數連續是可微的充分不必要條件
1 可導 可微的概念，並不是國際微積分的概念，可導 可微的區別，僅僅只是中國式微積分概念 2 在英文中，只有 differentiable 的概念，我們時而翻譯成可導，時而翻譯成可微，沒有一定之規 3 類似的並且是緊密相關的概念有 total differentiation 我們時而譯成全導數，時而...
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