1樓：匿名使用者
導數的應用之一：函式問題
（3課時）
導數與微分是在極限的基礎上發展起來的研究變數的一個數學分支，是解決實際問題的重要的數學工具。如求曲線的切線方程、函式的單調區間、函式的最值以及不等式的證明等問題，均可以導數作為研究的工具，根據導數的意義進行求解和證明。關於導數的應用，我們將分兩個講座研究，分別是函式問題和切線與速度的問題。
一、利用導數研究函式的單調性
若函式 在某個區間內可導，則當 時， 在此區間上為單調增函式；而當 時， 在此區間上為單調減函式。利用上述性質，可以研究函式的單調性。
注意點：
（1）同一函式的兩個單調區間不能並起來
（2）求函式的單調區間，求導的方法不是唯一的方法，也不一定是最好的方法，但它是一種一般性的方法。
二、利用導數求函式的最值
求閉區間 上的可導函式的最大（小）值的方法是：首先求出此函式在開區間 內的駐點，然後計算函式在駐點與端點處的值，並將它們進行比較，其中最大的一個即為最大值，最小的一個即為最小值，這裡無須對各駐點討論其是否為極大（小）值點。
如果函式不在閉區間 上可導，那麼求函式的最大（小）值時，不僅要比較此函式在各駐點與端點處的值，還要比較函式在定義域內各不可導的點處的值。
一般地，求在閉區間 上連續，在開區間 內可導的函式 在閉區間 上最值的步驟為：
⑴求 在區間 內的根，即導數為0的點（不必確定它是極大值點還是極小值點），求出這些導數為0的點的函式值；
⑵求 在閉區間 兩端點處的函式值，即 與 ；
⑶將導數為0的函式值與兩端點處的函式值進行比較，其中最大的一個即為最大值，最小的一個即為最小值。
一、範例分析
例1．設函式 內為奇函式且可導，證明：
內的偶函式.
證明：對任意
由於 為奇函式， ，
於是 ，
因此 即 內的偶函式。
例2．已知函式 處取得極值，並且它
的圖象與直線 在點（1，0）處相切，求a、b、c的值.
解：由曲線 過（1，0）得 ① 又 +b
則 ②
③解①②③得 .
例3．已知 有極大值 和極小值 .
（1）求 + 的值；
（2）設曲線 的極值點為a、b，求證：線段ab的中點在 上.
解：（1） ，由於 有極大值和極小值， 、 的兩根，
則 （2）設
知ab的中點在
上。例4．設函式 的駐點是0和4.
（1）求常數k的值；
（2）確定函式 的單調區間；
（3）求 的極值。
解：（1） ，由於駐點是0和4，∴0和4是方程 的兩根，
可求得（2）由（1）可知 ，∴當 為增函
數， 為減函式； （3）由（2）可判斷極大值為 極小值為
例5．求證： 。
證明：（1）當 時， =1， =1，命題成立；
（2）當 >0時，令 ，則 >0
在（0， ）上為增函式
>0， > 即 >0
> ；（3）當 <0時，令 ，則 <0
在（ ）上為減函式
<0， > 即 >0
>綜合以上情況， 。
例6．已知函式 問是否存在實數a、b使f(x)在[－1，2]上取得最大值3，最小值－29，若存在，求出a、b的值.並指出函式的單調區間 . 若不存在，請說明理由 .
解： （舍）
（1）a>0時，如下表
x (－1,0) 0 （0，2）
+ 0 —
最大值3
∴當x=0時， 取得最大值， ∴b=3；
（2）a<0時，如下表
x (－1,0) 0 （0，2）
— 0 +
最小值－29
∴當x=0時， 取得最小值， ∴b=－29（9分） 又f(2)=－16a－29, f(－1)=－7a－290）。試問當x取何值時，容量v有最大值。
解： =
函式v（ ）= 的定義域為
令 =0 得
(1)當 ，即 時， 時， ＞0 ．v（ ）為增函式；
時， ＜0 ．v（ ）為減函式； v（ ）在 上有極大值v（ ），
為唯一駐點， 當 時， 有最大值 。
（2）當 ，即 時， 時， ＞0 恆成立； v（ ）為增函式； 當 時， 有最大值 。
例10．某銀行準備新設一種定期存款業務，經**，存款量與利率的平方成正比，比例係數為k(k>0)，貸款的利率為4.8％，又銀行吸收的存款能全部放貸出去.(1)若存款的利率為x,x (0，0.
048)，試寫出存款量g(x)及銀行應支付給儲戶的利息h(x)；(2)存款利率定為多少時，銀行可獲得最大收益?
解：（1）由題意，存款量g(x)=kx2,銀行應支付的利息
h(x)=x•g(x)= kx3
（2）設銀行可獲收益為y,則
y=0.048•kx2–kx3
y』=k•0.096x–3 kx2 令y』 =0 即k×0.096x–3 kx2=0
解得x=0 或x=0.032
又當x (0,0.032)時，y』>0, x (0.032,0.048)時, y』<0
y在(0,0.032)內單調遞增，在(0.032,0.048) 單調遞減
故當x=0.032時，y在(0,0.048)內取得極大值，亦即最大值
答：存款利率為3.2%時，銀行可獲得最大收益
二、專題訓練
1．下列函式中，在x=0處的導數不等於零的是 （ a ）
a． b．
c．y=ln（1－x2） d．
2.關於函式 ，下列說法正確的是（ b ）
（a） 當 -2時， 有極大值1 （b） 當 0時， 有極小值-63
（c） 當 2時， 有極大值1 （d） 函式的最大值為1
3.設y=8x2-lnx，則此函式在區間(0,1/4)和(1/2,1)內分別為（ ）c
a．單調遞增，單調遞減 b、單調遞增，單調遞增
c、單調遞減，單調遞增 d、單調遞減，單調遞減
4．函式 的極大值點是 （ d ）
a．x=2 b．x=1 c．x=－1 d．x=－2
5．函式 在 （ d ）
a．（－∞，+∞）內是增函式
b．（－∞，+∞）內是減函式
c．（－1，1）內是增函式，在其餘區間內是減函式
d．（－1，1）內是減函式，在其餘區間內是增函式
6．已知 ，且f′(x)展成關於x的多項式，其中 的係數為60，則n=（b）
a．7 b．6 c．5 d．4
7．已知函式 在（－∞，+∞）上是增函式，則m的取值範圍是 （ c ）
a．m＜－4或m＞－2 b．－4＜m＜－2
c．2＜m＜4 d．m＜2或m＞4
8．已知函式 有極大值和極小值，則a的取值範圍是（ c ）
a． b． c． d．
9．函式 的值域為 （ b ）
a．[－4，4] b．[－3，3] c． d．（－3，3）
10．若函式 當 、x=-1時有極值，則（a）
a．a=-18，b=-3 b．a=-18，b=3
c．a=18，b=-3 d．a=18，b=3
11．若不等式 對任何x∈ r都成立，則實數k的最小值為（d）
a．-4 b． c．2 d．3
12．已知函式 在（－∞，+∞）上是增函式，則m的取值範圍是 （ c ）
a．m＜－4或m＞－2 b．－4＜m＜－2
c．2＜m＜4 d．m＜2或m＞4
13．函式y=x+2cosx在區間[0， ]上的最大值是 （ ）
14．設函式 的遞減區間為 ，則a的取值範圍是 （ ）
15．函式 上的最小值是 . （ ）
16．已知函式 在r上可導，則a= ，b= .
（a=2，b=2）
17. 已知函式f(x)=x2(x－1)，若 =x0，求x0的值.
解：f(x)=x3－x2， =3x2－2x， 令3x －2x0=x0知x0=0或1.
18．已知f(x)是r上的可導函式.
（1）f(－x)在x=a處的導數值與f(x)在x=－a處的導數值有什麼關係？
（2）若f(x)為偶函式， 的奇偶性如何？
解：（1）互為相反數.
（2）f(－x)在x=－a處的導數值為：
= =－ =－ .
是奇函式,這是因為f(x)為偶函式,故可進而寫為：
=－ =－ .
19．設x=-2與x=4是函式f(x)=x3+ax2+bx的兩個極值點。
（1） 求常數a、b的值;
（2） 判斷函式在x=-2，x=4處的值是函式的極大值還是極小值，並說明理由。
答案：a=13 b=-24 f(-2)為極大值 f(4)極小值。
20．（本大題滿分12分）
做一個圓柱形鍋爐，容積為v，兩個底面的材料每單位面積的**為a元，側面的材料每單位面積**為b元，問鍋爐的直每徑與高的比為多少時，造價最低？
答案：b/a。
21．設函式f(x)= (a∈r)，為使f(x)在區間（0，+∞）上為增函式，求a的取值範圍。
答案：a≤-1/2。
22．已知橢圓 + =1，(a>b>0)的長軸為ab，以ab為底邊作橢圓的內接等腰梯形abcd，求此等腰梯形面積的最大值。
答案： 。
23．用總長44.8m的鋼條製做一個底面是等腰三角形的直三稜柱容器的框架，如果所製做容器的底面的腰長比底邊長的一半長1m，那麼底面的底邊，腰及容器的高為多少時容器的容積最大？（參考資料2.
662=7.0756，3.342=11.
1556）
解：設容器底面等腰三角形的底邊長為2xm，則腰長為 （1分）高為
（2分）設容器的容積為vm3，底面等腰三角形底邊
上的高令 當 有最大值.
這時容器的底面等腰三角形的底邊長為6m，腰長為4m，容器的高為5.6m。
用導數是怎麼來求最大最小值的？依據是什麼？
2樓：康吶試
一階導數表示的幾何意義是曲線的斜率，如果再某一
點左側其一階導數是大於零的，在改點右側是小於零的，那麼在該點便有極大值，同樣如果再某一點左側其一階導數是小於零的，在改點右側是大於零的，那麼在該點便有極小值。所以求出一階導數，找出一階導數正負分界點，那麼其在改點便有極值。此外，在一階導數不存在的點也可能是該函式的極值點。
求以下函式的最大和最小值不要用導數
你的bai原題應該是 du x 27 13 x x 有定義域得zhi x 27 0 dao13 x 0 x 0 0 x 13 當回x 9時,max 答36 4 9 11 當x 0時,min 27 13 不可能的 因為這是未定式,不能通過重要不等式求極值 那就只有藉助函式工具了 不要用導數的話你可以藉...
求最大最小值，求最大最小值
s x y z x 2 x 由於x非負所以x大於等於0 3x 2y z 2 x，y，z，為三個非負有理數。所以x小於等於 2 3 s 的最大值 是 8 3 最小是2 3x 2y z 2,可得出 y 小於等於1，x y z 2，y大於等於4 3可見，這道題中某個有理數的符號有問題，你好,根據你得修改,...
帶根號函式的最大值最小值怎麼求,已知函式Y根號根號的最大值最小值怎麼求
解析 視實際題目而定 舉例說明 y x 2x 1 2x 1 1 2 2x 1 t2 1 2 t 1 2 t 1 2 t 0 已知函式y 根號 根號的最大值最小值怎麼求 沒有具體的函式解析式,不能求出其最大值或最小值。如 y x 2 x 3 由二次根式有意義得 x 2,沒有最大值,但最小值為1。再如 ...