1樓:數學劉哥
函式可微,導數或者偏導數一定存在,這個對一元函式和多元函式都適用。
反過來,一元函式和多元函式就不一樣了。
導數存在,一元函式可微,到多元函式偏導數都存在也不一定可微,可能不可微。
2樓:匿名使用者
一元函式可微和可導是同一個意思
判斷對錯:可導函式不一定是可微函式
3樓:匿名使用者
對在一元函式中,可導必可微,可微必可導。但對於多元函式,可導與可微是兩個不等價的概念。
函式在某點偏導數存在是函式在該點可微的必要條件而是不是充分條件
函式某點不可導是否一定不可微
4樓:晴空玉米
對於一元函式 可導<->可微
對於多元函式 可微->可導
為什麼偏導數存在不一定可微?
5樓:左岸居東
對於一元函式來說
,可導和可微是等價的,而對多元函式來說,偏導數都存在,也保證不了可微性,這是因為偏導數僅僅是在特定方向上的函式變化率,它對函式在某一點附近的變化情況的描述是極不完整的.
1,偏導數存在且連續,則函式必可微!
2,可微必可導!
3,偏導存在與連續不存在任何關係
其幾何意義是:z=f(x,y)在點(x0,y0)的全微分在幾何上表示曲面在點(x0,y0,f(x0,y0))處切平面上點的豎座標的增量。
如何判斷一個函式是否存在極限,是否連續,是否可導,是否可微?
6樓:匿名使用者
極限的概念是整個微積分的基礎,需要深刻地理解,由極限的概念才能引出連續、導數、積分等概念。極限的概念首先是從數列的極限引出的。對於任意小的正數e,如果存在自然數m,使所有n》m時,|a(n)-a|都小於e,則數列的極限為a。
極限不是相等,而是無限接近。而函式的極限是指在x0的一個臨域內(不包含x0這一點),如果對於任意小的正數e,都存在正數q,使所有(x0-q,x0+q)內的點,都滿足|f(x)-a|《e,則f(x)在x0點的極限為a。很多求極限的題目都可以用極限的定義直接求出。
例如f(x)=(x^2-3x+2)/(x-2), x=2不在函式定義域內,但對於任何x不等於2,f(x)=x-1,因此在x無限接近2,但不等於2時,f(x)無限接近1,因此f(x)在2處的極限為1。
連續的概念。如果函式在x0的極限存在,函式在x0有定義,而且極限值等於函式值,則稱f(x)在x0點連續。以上的三個條件缺一不可。
在上例中,f(x)在x=2時極限存在,但在x=2這一點沒有定義,所以函式在x=2不連續;
如果我們定義f(2)=1,補上「缺口」,則函式在x=2變成連續的;
如果我們定義f(2)=3,雖然函式在x=2時,極限值和函式值都存在,但不相等,那麼函式在x=2還是不連續。
由連續又引出了左極限、右極限和左連續、右連續的概念。函式值等於左極限為左連續,函式值等於右極限為右連續。如果函式在x0點左右極限都存在,且都等於函式值,則函式在x=x0時連續。
這個定義是解決分段函式連續問題的最重要的、幾乎是唯一的方法。
如果函式在某個區間內每一點都連續,在區間的左右端點分別左右連續(對閉區間而言),則稱函式在這個區間上連續。
導數的概念。導數是函式的變化率,直觀地看是指切線的斜率。略有不同的是,切線可以平行於y軸,此時斜率為無窮大,因此導數不存在,但切線存在。
導數的求法也是一個極限的求法。對於x=x0,在x0附近另找一點x1,求x0與x1連線的斜率。當x1無限靠近x0,但不與x0重合時,這兩點連線的斜率,就是f(x)在x=x0處的導數。
關於導數的題目多數可用導數的定義直接解決。教科書中給出了所有基本函式的導數公式,如果自己能用導數的定義都推導一遍,理解和記憶會更深刻。其中對數的導數公式推導中用到了重要極限:
limx-->0 (1+x)^(1/x)=e。
導數同樣分為左導數和右導數。導數存在的條件是:f(x)在x=x0連續,左右導數存在且相等。這個定義是解決分段函式可導問題的最重要的、幾乎是唯一的方法。
如果函式在某個區間內每一點都可導,在區間的左右端點分別左右導數存在(對閉區間而言),則稱函式在這個區間上可導。
複合函式的導數,例如f[u(x)],是集合a中的自變數x,產生微小變化dx,引起集合b中對應數u的微小變化du,u的變化又引起集合c中的對應數f(u)的變化,則複合函式的導函式f』[u(x)]=df(u)/dx=df(u)/du * du/dx=f』(u)*u『(x)
導數在生活中的例子最常見的是距離與時間的關係。物體在極其微小的時間內,移動了極其微小的距離,二者的比值就是物體在這一刻的速度。對於自由落體運動,下落距離s=1/2gt^2,則物體在時間t0的速度為v(t0)=[s(t0+a)-s(t0)]/a, 當a趨近於0時的值,等於gt0; 而速度隨時間的增加而增加,變化的比率g稱為加速度。
加速度是距離對時間的二階導數。
從直觀上看,可導意味著光滑的、沒有尖角,因為在尖角處左右導數不相等。有笑話說一位教授對學生抱怨道:「這飯館讓人怎麼吃飯?你看這碗口,處處不可導!」
積分的概念。從面積上理解,積分就是積少成多,把無限個面積趨近於0的線條,累積在一起,就成為大於0的面積。我們可以把一塊圖形分割為狹長的長方形(長方形的高度都取函式在左端或右端的函式值),分別計算各個長方形的面積再加總,可近似地得出圖形的面積。
當我們把長方形的寬度設定得越來越窄,計算結果就越來越精確,與圖形實際面積的差距越來越小。如果函式的積分存在,則長方形寬度趨近於0時,求出的長方形面積總和的極限存在,且等於圖形的實際面積。這裡又是一個極限的概念。
如果函式存在不連續的點,但在該點左右極限都存在,函式仍是可積的。只要間斷點的個數是有限的,則它們代表的線條面積總和為0,不影響計算結果。
在廣義積分中,允許函式在無限區間內積分,或某些點的函式值趨向無窮大,只要積分的極限存在,函式都是可積的。
嚴格地說,我們只會計算長方形的面積。從我們介紹的積分的求法看,我們實際上是把求面積化為了數列求和的問題,即求數列的前n項和s(n),在n趨近於無窮大時的極限。很多時候,求積分和求無限數列的和是可以相互轉換的。
當我們深刻地理解了積分的定義和熟練地掌握了積分公式之後,我們同樣可用它來解決相當棘手的數列求和問題。
例如:求lim na正無窮大時,1/n*[1+1/(1+1/n)+1/(1+2/n)+。。。+1/(1+(n-1)/n)+1/2]的值。
看似無從下手,可當我們把它轉化為一連串的小長方形的面積之後,不禁會恍然大悟:這不是f(x)=1/x在[1,2]上的積分嗎?從而輕鬆得出結果為ln2。
除了基本的積分公式外,換元法和分步法是常用的積分方法。換元積分法的實質是把原函式化為形式簡單的複合函式;分步積分法的要領是:在∫udv=uv-∫vdu中,函式u微分後應該變簡單(比如次數降低),而函式v積分後不會變得更復雜。
7樓:demon陌
函式只要其影象有一段連續就可導,可微應該是全影象連續才可以,連續就需要看定義域(如果在高中的話定義域連續函式一般都連續),極限要求連續,它要看函式的值域,函式的值域必須有一端是有意義的,即不能是無窮,且在這端定義域應該是無窮,這樣在這端函式才有極限。
當分母等於零時,就不能將趨向值直接代入分母,可以通過下面幾個小方法解決:
第一:因式分解,通過約分使分母不會為零。
第二:若分母出現根號,可以配一個因子使根號去除。
第三:以上我所說的解法都是在趨向值是一個固定值的時候進行的,如果趨向於無窮,分子分母可以同時除以自變數的最高次方。(通常會用到這個定理:無窮大的倒數為無窮小)
8樓:匿名使用者
a(n)-a|都小於e,則數)^(1/x)=e。
導數同樣引起集合b中對應數u的微小變化du,u的變化又引起集合c中的對應數f(u)的變化,則複合函式的導函式f』[u(x)]=df(u)/dx=df(u)/du * 可用它來解決相當次數降低),而函式v分後不會變得更復雜。
9樓:匿名使用者
可導必連續,連續極限必存在,反之不真。
10樓:匿名使用者
有一點我敢肯定,那就是可微一定可導
11樓:迮哲仵湃
可導(左導數=右導數)<=>可微=>連續(在定義區間內,左極限=右極限)
極限存在:左極限=右極限
看懂就行了
4者關係都在裡面
不懂得話繼續問
解析函式可導與可微的關係是什麼,網上說多元函式可微一定可導,但我
12樓:匿名使用者
可微和可導是等價的,不管實變函式還是複變函式,可微即可導,這是根據定義來的。
滿足柯西黎曼方程的複變函式才能稱作解析函式,可微指的是實部和虛部分別可微,也就是分別可導。
函式可微的判斷
13樓:墨汁諾
一、可以用可微的相關知識去判斷,但是如果題目不是要證明是否可微,對於某些不可微的函式是可以一眼就看出來的,而不用證明。
函式可微的直觀幾何解釋是函式圖象在該點是「光滑」的,即函式圖象不能是「尖點」,回憶一元函式y=|x|在x=0點的圖象是一個尖點,故這個函式在x=0處不可微。本題中二元函式的圖象是一個錐體,而(0,0)點對應的z是這個錐體的頂點,它是一個"尖點",所以在該點不可微。
二、按定義,f(x,y)在(0,0)點可微就是要求lim[f(x,y)-f(0,0)-ax-by]/√(x^2+y^2)=0(a,b是常數),本題中這個極限表示式為lim[1-√(x^2+y^2)-1-ax-by]/√(x^2+y^2)=1-lim(ax+by)/√(x^2+y^2),令y=kx,
則lim(ax+by)/√(x^2+y^2)=(a+bk)/√(1+k^2),極限與k有關,故這個極限不存在,因此極限lim[1-√(x^2+y^2)-1-ax-by]/√(x^2+y^2)也就不存在,故在原點不可微。
函式在一點可導是不是一定可微?
14樓:匿名使用者
不一定。一元函式可微與可導等價,多元函式可微一定可導,可導不一定可微。若多元函式的偏導數在某點連續,則函式在該點可微。
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不是的,只是一點,但不能保證其他的點有導數。可以舉反例的。不好畫圖呀 我想想辦法整一張 上來 切線方程是根據導函式確定的,不可導怎麼來切線方程?所以答案是確定的 函式在一點處有切線但不一定在該點處可導 5 如果切線是與x軸垂直的,此時導數為無窮大,因此不可導.比如y x 1 3 在x 0處.函式在某...
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